Номер 44.50, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.50 С помощью графика функции $y = x^2$ определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $x^2 < 1$;

б) $x^2 \ge 1$;

в) $x^2 \le 9$;

г) $x^2 > 9$.

Чтобы решить данные неравенства с помощью графика функции $y = x^2$, мы будем анализировать расположение параболы относительно горизонтальных прямых. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.

а) $x^2 < 1$

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = x^2$ меньше 1. Графически это означает, что мы ищем ту часть параболы, которая находится ниже горизонтальной прямой $y = 1$.
Сначала определим точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 1$. Для этого решим уравнение $x^2 = 1$. Его решения: $x = -1$ и $x = 1$.
На графике видно, что парабола находится ниже линии $y = 1$ на интервале между $x = -1$ и $x = 1$. Поскольку неравенство строгое ($<$), конечные точки интервала не включаются в решение.
Ответ: $-1 < x < 1$.

б) $x^2 \ge 1$

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = x^2$ больше или равны 1. Графически это соответствует тем частям параболы, которые лежат на или выше прямой $y = 1$.
Точки пересечения, как мы уже знаем, это $x = -1$ и $x = 1$.
Парабола находится выше прямой $y = 1$ для всех $x$ левее $-1$ и правее $1$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сами точки пересечения ($x=-1$ и $x=1$) также являются частью решения.
Ответ: $x \le -1$ или $x \ge 1$.

в) $x^2 \le 9$

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = x^2$ меньше или равны 9. Графически это та часть параболы, которая лежит на или ниже прямой $y = 9$.
Найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 9$, решив уравнение $x^2 = 9$. Решения: $x = -3$ и $x = 3$.
Парабола находится ниже линии $y = 9$ на интервале между $x = -3$ и $x = 3$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), конечные точки ($x=-3$ и $x=3$) включаются в решение.
Ответ: $-3 \le x \le 3$.

г) $x^2 > 9$

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = x^2$ больше 9. Графически это те части параболы, которые лежат выше прямой $y = 9$.
Точки пересечения — $x = -3$ и $x = 3$.
Парабола находится выше прямой $y = 9$ для всех $x$ левее $-3$ и правее $3$. Так как неравенство строгое ($>$), сами точки пересечения не включаются в решение.
Ответ: $x < -3$ или $x > 3$.