Номер 44.52, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.52. С помощью графика функции $y = x^2$ определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $1 < x^2 < 4$;

б) $4 \le x^2 \le 9$.

a)

Чтобы решить неравенство $1 < x^2 < 4$ с помощью графика функции $y = x^2$, необходимо найти такие значения $x$, при которых соответствующие им значения $y$ на графике будут строго больше 1, но строго меньше 4.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Она симметрична относительно оси OY.

1. Найдём значения $x$, при которых $y$ равен границам интервала, то есть 1 и 4.

• Если $y = 1$, то $x^2 = 1$. Корнями этого уравнения являются $x = -1$ и $x = 1$.
• Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Корнями этого уравнения являются $x = -2$ и $x = 2$.

2. Теперь рассмотрим на графике части параболы, которые лежат между горизонтальными прямыми $y=1$ и $y=4$. Таких частей две из-за симметрии параболы.

Первая часть находится в правой полуплоскости (где $x > 0$). Здесь значения $y$ находятся между 1 и 4, когда $x$ находится между 1 и 2. Так как неравенство строгое ($<$, а не $\le$), концы интервала не включаются. Таким образом, получаем $1 < x < 2$.

Вторая часть находится в левой полуплоскости (где $x < 0$). Здесь значения $y$ находятся между 1 и 4, когда $x$ находится между -2 и -1. Аналогично, из-за строгости неравенства получаем $-2 < x < -1$.

3. Объединяем полученные интервалы, чтобы получить полное решение.

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (1; 2)$.

б)

Чтобы решить неравенство $4 \le x^2 \le 9$ с помощью графика функции $y = x^2$, мы ищем значения $x$, для которых соответствующие значения $y$ на графике будут больше или равны 4 и меньше или равны 9.

1. Найдём значения $x$, при которых $y$ равен границам отрезка, то есть 4 и 9.

• Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Корнями этого уравнения являются $x = -2$ и $x = 2$.
• Если $y = 9$, то $x^2 = 9$. Корнями этого уравнения являются $x = -3$ и $x = 3$.

2. Рассмотрим на графике части параболы, которые лежат между горизонтальными прямыми $y=4$ и $y=9$, включая точки на этих прямых.

Первая часть находится в правой полуплоскости (где $x > 0$). Здесь значения $y$ находятся в отрезке $[4, 9]$, когда $x$ находится в отрезке $[2, 3]$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), концы отрезка включаются. Таким образом, получаем $2 \le x \le 3$.

Вторая часть находится в левой полуплоскости (где $x < 0$). Здесь значения $y$ находятся в отрезке $[4, 9]$, когда $x$ находится в отрезке $[-3, -2]$. Аналогично, из-за нестрогости неравенства получаем $-3 \le x \le -2$.

3. Объединяем полученные отрезки, чтобы получить полное решение.

Ответ: $x \in [-3; -2] \cup [2; 3]$.