Номер 44.51, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.51 С помощью графика функции $y = -x^2$ определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $-x^2 \leq -4$;

б) $-x^2 > -9$;

в) $-x^2 \geq -4$;

г) $-x^2 < -9$.

Для решения данных неравенств воспользуемся графиком функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в начале координат — точке (0, 0). Решение каждого неравенства сводится к нахождению таких значений $x$, при которых ординаты (значения $y$) точек графика удовлетворяют заданному условию.

а) $-x^2 \le -4$

Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = -x^2$ находится на прямой $y = -4$ или ниже ее. Для этого сначала найдем точки пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -4$.
$-x^2 = -4$
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
Это значит, что парабола пересекает прямую в точках $(-2, -4)$ и $(2, -4)$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее части находятся ниже прямой $y=-4$ при значениях $x$, которые лежат левее $x=-2$ и правее $x=2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), то и сами точки пересечения входят в решение.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух промежутков: $x \le -2$ и $x \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

б) $-x^2 > -9$

Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = -x^2$ находится выше прямой $y = -9$.
Найдем точки пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -9$:
$-x^2 = -9$
$x^2 = 9$
$x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
Точки пересечения: $(-3, -9)$ и $(3, -9)$.
Вершина параболы (0, 0) находится выше прямой $y = -9$. Следовательно, часть графика, расположенная между точками $x = -3$ и $x = 3$, находится выше этой прямой. Неравенство строгое ($>$), поэтому концы интервала не включаются в решение.
Решением является интервал $-3 < x < 3$.

Ответ: $x \in (-3, 3)$.

в) $-x^2 \ge -4$

Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = -x^2$ находится на прямой $y = -4$ или выше ее.
Точки пересечения параболы и прямой $y = -4$ мы уже нашли в пункте а): $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Вершина параболы находится в точке (0, 0), что выше прямой $y = -4$. Значит, часть графика между точками $x = -2$ и $x = 2$ лежит выше этой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), концы отрезка включаются в решение.
Решением является отрезок $-2 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-2, 2]$.

г) $-x^2 < -9$

Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = -x^2$ находится ниже прямой $y = -9$.
Точки пересечения параболы и прямой $y = -9$ мы нашли в пункте б): $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее части находятся ниже прямой $y=-9$ при значениях $x$, которые лежат левее $x=-3$ и правее $x=3$. Неравенство строгое ($<$), поэтому сами точки пересечения не включаются в решение.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -3$ и $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.