Номер 45.1, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

45.1 В одной системе координат постройте графики заданных функций и найдите координаты точек их пересечения:

а) $y = x + 3$ и $y = 2x + 1$;

б) $y = x^2$ и $y = 9$;

в) $y = -x$ и $y = 3x - 4$;

г) $y = -x^2$ и $y = -2x.$

а) Даны функции $y = x + 3$ и $y = 2x + 1$.

Обе функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения каждой прямой в одной системе координат достаточно найти по две точки для каждой функции.

Для графика функции $y = x + 3$ найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = 0 + 3 = 3$. Точка (0, 3).
Если $x = -3$, то $y = -3 + 3 = 0$. Точка (-3, 0).
Проводим прямую через эти две точки.

Для графика функции $y = 2x + 1$ найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка (0, 1).
Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Точка (1, 3).
Проводим прямую через эти две точки.

Для нахождения координат точки пересечения графиков нужно решить систему уравнений. Приравняем правые части выражений для $y$:

$x + 3 = 2x + 1$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$3 - 1 = 2x - x$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$:

$y = 2 + 3 = 5$

Таким образом, графики пересекаются в точке с координатами (2, 5).

Ответ: (2, 5)

б) Даны функции $y = x^2$ и $y = 9$.

Функция $y = x^2$ — квадратичная. Её график — парабола, симметричная относительно оси OY, с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Для построения можно использовать точки: (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4).

Функция $y = 9$ — постоянная. Её график — горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 9) параллельно оси OX.

Для нахождения координат точек пересечения приравняем правые части уравнений:

$x^2 = 9$

Решим это уравнение:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Так как для всех точек на прямой $y=9$ координата $y$ равна 9, то точки пересечения имеют координаты (-3, 9) и (3, 9).

Ответ: (-3, 9) и (3, 9)

в) Даны функции $y = -x$ и $y = 3x - 4$.

Обе функции являются линейными, их графики — прямые.

График функции $y = -x$ — прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Проходит через точки (0, 0) и (1, -1).

Для графика функции $y = 3x - 4$ найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка (0, -4).
Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 4 = 2$. Точка (2, 2).

Для нахождения координат точки пересечения приравняем правые части уравнений:

$-x = 3x - 4$

Решим уравнение:

$4 = 3x + x$

$4 = 4x$

$x = 1$

Найдем $y$, подставив $x=1$ в первое уравнение:

$y = -1$

Координаты точки пересечения — (1, -1).

Ответ: (1, -1)

г) Даны функции $y = -x^2$ и $y = -2x$.

Функция $y = -x^2$ — квадратичная. Её график — парабола с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вниз. Для построения можно взять точки: (0, 0), (1, -1), (-1, -1), (2, -4).

Функция $y = -2x$ — линейная. Её график — прямая, проходящая через начало координат. Для построения возьмем вторую точку: если $x = 2$, то $y = -2 \cdot 2 = -4$. Точка (2, -4).

Для нахождения координат точек пересечения приравняем правые части уравнений:

$-x^2 = -2x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два решения:

$x_1 = 0$

$x_2 - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения (0, 0).

Если $x_2 = 2$, то $y_2 = -2 \cdot 2 = -4$. Точка пересечения (2, -4).

Ответ: (0, 0) и (2, -4)