Номер 44.54, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.54 а) $y = \frac{2x^2 - 8x + 8}{x - 2}$;

б) $y = \frac{x^3 + 6x^2 + 9x}{x^2 + 3x}$.

a)

Дана функция $y = \frac{2x^2 - 8x + 8}{x - 2}$.

1. Первым шагом найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому устанавливаем ограничение:
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

2. Далее упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x^2 - 8x + 8 = 2(x^2 - 4x + 4)$.
Выражение в скобках $x^2 - 4x + 4$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$ и $b=2$:
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Таким образом, числитель преобразуется к виду $2(x - 2)^2$.

3. Подставим разложенный числитель обратно в исходное уравнение функции:
$y = \frac{2(x - 2)^2}{x - 2}$.

4. Поскольку мы знаем, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 2)$:
$y = 2(x - 2)$
$y = 2x - 4$.

Таким образом, график исходной функции представляет собой прямую $y = 2x - 4$ с одной "выколотой" точкой, соответствующей значению $x=2$. Координаты этой точки можно найти, подставив $x=2$ в упрощенное уравнение: $y = 2(2) - 4 = 0$. Точка разрыва имеет координаты $(2, 0)$.

Ответ: $y = 2x - 4$ при $x \neq 2$.

б)

Дана функция $y = \frac{x^3 + 6x^2 + 9x}{x^2 + 3x}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 + 3x \neq 0$.
Разложим знаменатель на множители, вынеся $x$ за скобки:
$x(x + 3) \neq 0$.
Это неравенство выполняется, когда оба множителя не равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x + 3 \neq 0$. Отсюда получаем:
$x \neq 0$ и $x \neq -3$.
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$ и $x=-3$.

2. Упростим выражение, разложив на множители числитель и знаменатель.
Разложим числитель $x^3 + 6x^2 + 9x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 6x + 9)$.
Выражение в скобках $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$ и $b=3$:
$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.
Таким образом, числитель равен $x(x + 3)^2$.
Знаменатель, как мы уже выяснили, равен $x(x + 3)$.

3. Подставим разложенные выражения в исходную функцию:
$y = \frac{x(x + 3)^2}{x(x + 3)}$.

4. Учитывая ограничения $x \neq 0$ и $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на общие множители $x$ и $(x+3)$:
$y = x + 3$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая $y = x + 3$ с двумя "выколотыми" точками, соответствующими значениям $x=0$ и $x=-3$. Найдем координаты этих точек:
При $x=0$: $y = 0 + 3 = 3$. Точка разрыва — $(0, 3)$.
При $x=-3$: $y = -3 + 3 = 0$. Точка разрыва — $(-3, 0)$.

Ответ: $y = x + 3$ при $x \neq 0$ и $x \neq -3$.