Номер 44.56, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.56 а) $y = \frac{-x^4 + x^2}{(x-1)(x+1)}$;

б) $y = \frac{x^4 - 4x^2}{(x-2)(x+2)}$

a) $y = \frac{-x^4 + x^2}{(x-1)(x+1)}$

Для того чтобы упростить данное выражение, сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому:

$(x-1)(x+1) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь преобразуем числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель $-x^2$:

$-x^4 + x^2 = -x^2(x^2 - 1)$

Знаменатель является формулой разности квадратов:

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

Подставим преобразованные выражения обратно в функцию:

$y = \frac{-x^2(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$

При условии, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x^2 - 1)$:

$y = -x^2$

Таким образом, исходная функция совпадает с функцией $y = -x^2$ при всех значениях $x$, кроме $x=1$ и $x=-1$. Графиком является парабола $y = -x^2$ с двумя "выколотыми" точками.

Найдем координаты этих точек:

При $x=1$, $y = -(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$.

При $x=-1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Ответ: $y = -x^2$ при $x \neq \pm1$.

б) $y = \frac{x^4 - 4x^2}{(x-2)(x+2)}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю:

$(x-2)(x+2) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $x^2$:

$x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4)$

Знаменатель является формулой разности квадратов:

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

Подставим преобразованные выражения в исходную функцию:

$y = \frac{x^2(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$

Учитывая область определения ($x \neq 2$ и $x \neq -2$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x^2 - 4)$:

$y = x^2$

Следовательно, исходная функция эквивалентна функции $y = x^2$ для всех $x$, за исключением $x=2$ и $x=-2$. Графиком является парабола $y = x^2$ с двумя "выколотыми" точками.

Найдем координаты этих точек:

При $x=2$, $y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

При $x=-2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.

Ответ: $y = x^2$ при $x \neq \pm2$.