Номер 44.55, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.55 а) $y = \frac{x^3 + 3x^2}{x+3}$;

б) $y = \frac{-x^3 + x^2}{x-1}$.

а)

Дана функция $y = \frac{x^3 + 3x^2}{x + 3}$.

1. Нахождение области определения.

Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю: $x + 3 = 0$.

Отсюда $x = -3$.

Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x = -3$. В виде интервалов: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Упрощение функции.

Разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^3 + 3x^2 = x^2(x + 3)$.

Подставим это выражение обратно в функцию:

$y = \frac{x^2(x + 3)}{x + 3}$.

Поскольку мы уже установили, что $x \neq -3$, то выражение $(x+3)$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$y = x^2$.

3. Анализ графика.

Исходная функция эквивалентна функции $y=x^2$ при условии $x \neq -3$. Это означает, что ее график — это парабола $y=x^2$, у которой удалена (или "выколота") одна точка. Эта точка соответствует значению $x = -3$.

Чтобы найти координаты выколотой точки, подставим $x = -3$ в упрощенное уравнение $y = x^2$:

$y = (-3)^2 = 9$.

Таким образом, график функции $y = \frac{x^3 + 3x^2}{x + 3}$ представляет собой параболу $y = x^2$ с выколотой точкой в $(-3; 9)$.

Ответ: $y = x^2$ при $x \neq -3$.

б)

Дана функция $y = \frac{-x^3 + x^2}{x - 1}$.

1. Нахождение области определения.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0$.

Отсюда $x \neq 1$.

Область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x = 1$. В виде интервалов: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упрощение функции.

Разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель $-x^2$ за скобки:

$-x^3 + x^2 = -x^2(x - 1)$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{-x^2(x - 1)}{x - 1}$.

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 1$, выражение $(x-1)$ не равно нулю, и на него можно сократить:

$y = -x^2$.

3. Анализ графика.

Функция $y = \frac{-x^3 + x^2}{x - 1}$ эквивалентна функции $y = -x^2$ при условии $x \neq 1$. Ее график — это парабола $y = -x^2$ (ветви направлены вниз) с выколотой точкой при $x=1$.

Найдем координаты этой точки, подставив $x = 1$ в упрощенное уравнение $y = -x^2$:

$y = -(1)^2 = -1$.

Следовательно, график функции представляет собой параболу $y = -x^2$ с выколотой точкой в $(1; -1)$.

Ответ: $y = -x^2$ при $x \neq 1$.