Номер 44.49, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.49 Найдите точки пересечения параболы и прямой:

а) $y = x^2$ и $y = -2x - 1$;

б) $y = -x^2$ и $y = 2x + 1$;

в) $y = x^2$ и $y = 4x - 4$;

г) $y = -x^2$ и $y = -4x + 4$.

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение относительно $x$. Затем, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений, найти соответствующие значения $y$.

а) $y = x^2$ и $y = -2x - 1$

Приравниваем правые части уравнений:
$x^2 = -2x - 1$
Переносим все члены уравнения в левую часть:
$x^2 + 2x + 1 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы:
$(x + 1)^2 = 0$
Решаем уравнение:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Мы получили одно значение $x$, это значит, что графики имеют одну общую точку (прямая касается параболы).
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -1$ в уравнение параболы:
$y = x^2 = (-1)^2 = 1$
Точка пересечения имеет координаты $(-1; 1)$.
Ответ: $(-1; 1)$.

б) $y = -x^2$ и $y = 2x + 1$

Приравниваем правые части уравнений:
$-x^2 = 2x + 1$
Переносим все члены уравнения в правую часть:
$0 = x^2 + 2x + 1$
Сворачиваем по формуле полного квадрата:
$(x + 1)^2 = 0$
Решаем уравнение:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -1$ в уравнение параболы:
$y = -x^2 = -(-1)^2 = -1$
Точка пересечения имеет координаты $(-1; -1)$.
Ответ: $(-1; -1)$.

в) $y = x^2$ и $y = 4x - 4$

Приравниваем правые части уравнений:
$x^2 = 4x - 4$
Переносим все члены уравнения в левую часть:
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:
$(x - 2)^2 = 0$
Решаем уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в уравнение параболы:
$y = x^2 = 2^2 = 4$
Точка пересечения имеет координаты $(2; 4)$.
Ответ: $(2; 4)$.

г) $y = -x^2$ и $y = -4x + 4$

Приравниваем правые части уравнений:
$-x^2 = -4x + 4$
Переносим все члены уравнения в правую часть:
$0 = x^2 - 4x + 4$
Сворачиваем по формуле полного квадрата:
$(x - 2)^2 = 0$
Решаем уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в уравнение параболы:
$y = -x^2 = -(2)^2 = -4$
Точка пересечения имеет координаты $(2; -4)$.
Ответ: $(2; -4)$.