Страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2$ на заданном промежутке:

44.39 a) $[-2; \frac{3}{7}];$

б) $(-0,7; 3];$

в) $[-1,5; 0];$

г) $[-1; \frac{1}{4}).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -x^2$ на заданном промежутке проанализируем её свойства. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Вершина является точкой глобального максимума, где $y_{наиб} = 0$. Функция убывает при удалении от $x=0$ в любую сторону.

a) На промежутке $\left[-2; \frac{3}{7}\right]$:

Вершина параболы $x=0$ принадлежит данному промежутку, так как $-2 \le 0 \le \frac{3}{7}$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом промежутке достигается в точке $x=0$.

$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Вычислим значения функции в этих точках:

$y(-2) = -(-2)^2 = -4$.

$y\left(\frac{3}{7}\right) = -\left(\frac{3}{7}\right)^2 = -\frac{9}{49}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-4 < -\frac{9}{49}$. Значит, наименьшее значение функции равно $-4$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$, $y_{наим} = -4$.

б) На промежутке $(-0,7; 3]$:

Вершина параболы $x=0$ принадлежит данному промежутку, так как $-0,7 < 0 \le 3$. Значит, наибольшее значение функции на этом промежутке равно $0$.

$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Для нахождения наименьшего значения сравним, какой из концов промежутка находится дальше от вершины $x=0$. $|-0,7| = 0,7$, а $|3| = 3$. Точка $x=3$ находится дальше. Так как ветви параболы направлены вниз, наименьшее значение будет в точке, наиболее удаленной от вершины.

Поскольку точка $x=3$ включена в промежуток, наименьшее значение достигается в ней.

$y_{наим} = y(3) = -(3)^2 = -9$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$, $y_{наим} = -9$.

в) На промежутке $[-1,5; 0]$:

Данный промежуток целиком лежит на участке возрастания функции $y=-x^2$ (включая ее максимум). Поэтому наименьшее значение будет на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1,5) = -(-1,5)^2 = -2,25$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$, $y_{наим} = -2,25$.

г) На промежутке $\left[-1; \frac{1}{4}\right)$:

Вершина параболы $x=0$ принадлежит данному промежутку, так как $-1 \le 0 < \frac{1}{4}$. Следовательно, наибольшее значение функции равно $0$.

$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.

Для нахождения наименьшего значения рассмотрим значения на концах. Левый конец $x=-1$ включен в промежуток, а правый $x=\frac{1}{4}$ — нет.

$y(-1) = -(-1)^2 = -1$.

При приближении к $x=\frac{1}{4}$ справа, значение функции стремится к $y\left(\frac{1}{4}\right) = -\left(\frac{1}{4}\right)^2 = -\frac{1}{16}$.

Сравнивая значение $y(-1) = -1$ со значениями на интервале $\left[0, \frac{1}{4}\right)$, которые лежат в полуинтервале $\left(-\frac{1}{16}, 0\right]$, делаем вывод, что наименьшим значением на всем заданном промежутке является $-1$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$, $y_{наим} = -1$.

44.40 a) $ [-2.5; +\infty) $;

б) $ (-\infty; \frac{2}{9}] $;

в) $ [1.2; +\infty) $;

г) $ (-\infty; -\frac{2}{3}] $.

a) Для того чтобы решением неравенства был промежуток $[-2,5; +\infty)$, неравенство должно быть эквивалентно $x \geq -2,5$. Рассмотрим в качестве примера линейное неравенство $4x + 10 \geq 0$.

Решение:

1. Перенесем свободный член (10) из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный:

$4x \geq -10$

2. Разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной $x$, то есть на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x \geq -\frac{10}{4}$

3. Сократим дробь и преобразуем ее в десятичную:

$x \geq -\frac{5}{2}$

$x \geq -2,5$

Решением неравенства является множество всех чисел, которые больше или равны -2,5. На числовой прямой это соответствует промежутку от -2,5 (включительно) до плюс бесконечности.

Ответ: $[-2,5; +\infty)$.

б) Промежуток $(-\infty; \frac{2}{9}]$ является решением неравенства, которое приводится к виду $x \leq \frac{2}{9}$. Рассмотрим в качестве примера неравенство $11 - 9x \geq 9$.

Решение:

1. Перенесем число 11 из левой части в правую с противоположным знаком:

$-9x \geq 9 - 11$

2. Выполним вычитание в правой части:

$-9x \geq -2$

3. Разделим обе части неравенства на -9. Поскольку мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с $\geq$ на $\leq$):

$x \leq \frac{-2}{-9}$

4. Упростим дробь:

$x \leq \frac{2}{9}$

Решением является множество всех чисел, которые меньше или равны $\frac{2}{9}$. Это соответствует промежутку от минус бесконечности до $\frac{2}{9}$ (включительно).

Ответ: $(-\infty; \frac{2}{9}]$.

в) Интервал $[1,2; +\infty)$ является решением неравенства, которое можно свести к виду $x \geq 1,2$. В качестве примера рассмотрим неравенство $10x - 7 \geq 5$.

Решение:

1. Перенесем -7 в правую часть неравенства, изменив знак:

$10x \geq 5 + 7$

2. Сложим числа в правой части:

$10x \geq 12$

3. Разделим обе части на 10. Знак неравенства не меняется, так как 10 > 0:

$x \geq \frac{12}{10}$

4. Преобразуем дробь в десятичное число:

$x \geq 1,2$

Таким образом, решением являются все числа $x$, большие или равные 1,2, что соответствует заданному промежутку.

Ответ: $[1,2; +\infty)$.

г) Для получения ответа $(-\infty; -\frac{2}{3}]$ нужно решить неравенство, эквивалентное $x \leq -\frac{2}{3}$. Рассмотрим в качестве примера неравенство $9x + 1 \leq -5$.

Решение:

1. Перенесем 1 из левой части в правую с противоположным знаком:

$9x \leq -5 - 1$

2. Упростим правую часть:

$9x \leq -6$

3. Разделим обе части на 9. Знак неравенства не меняется:

$x \leq -\frac{6}{9}$

4. Сократим дробь на 3:

$x \leq -\frac{2}{3}$

Решением является множество всех чисел, которые меньше или равны $-\frac{2}{3}$. Это соответствует числовому промежутку от минус бесконечности до $-\frac{2}{3}$ включительно.

Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{3}]$.

44.41 Пусть A — наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; 1]$, а B — наибольшее значение той же функции на отрезке $[-3; -1]$.

Что больше: A или B? Сделайте графическую иллюстрацию.

Пусть A — наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке [-2; 1]
Функция $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Её вершина находится в точке $(0; 0)$, и это точка глобального минимума функции.
Отрезок $x \in [-2; 1]$ содержит точку $x=0$. Поскольку в этой точке функция достигает своего наименьшего значения, то это значение будет наименьшим и на данном отрезке.
Вычислим значение функции при $x = 0$:
$y(0) = 0^2 = 0$
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 1]$ равно 0.
Ответ: $A = 0$.

а B — наибольшее значение той же функции на отрезке [-3; -1]
На отрезке $x \in [-3; -1]$ функция $y = x^2$ является убывающей, так как этот отрезок полностью находится левее вершины параболы (точки $x=0$).
Для убывающей функции на замкнутом интервале $[a, b]$ наибольшее значение достигается в левой границе интервала (в точке $x=a$), а наименьшее — в правой (в точке $x=b$).
Следовательно, на отрезке $[-3; -1]$ наибольшее значение функция примет в точке $x = -3$.
Вычислим это значение:
$y(-3) = (-3)^2 = 9$
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[-3; -1]$ равно 9.
Ответ: $B = 9$.

Что больше: A или B?
Мы определили, что $A = 0$ и $B = 9$.
Сравнивая эти значения, получаем:
$9 > 0$, следовательно, $B > A$.
Ответ: $B$ больше, чем $A$.

Сделайте графическую иллюстрацию.
На приведенном ниже графике функции $y = x^2$ показаны оба отрезка и соответствующие им точки.

• Красной закрашенной областью показан интервал $x \in [-2; 1]$. Наименьшее значение функции $A=0$ на этом интервале достигается в точке $(0; 0)$.
• Зеленой закрашенной областью показан интервал $x \in [-3; -1]$. Наибольшее значение функции $B=9$ на этом интервале достигается в точке $(-3; 9)$.

График наглядно демонстрирует, что значение $B$ больше значения $A$.

44.42 Пусть C — наибольшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[1; 2]$,

а D — наименьшее значение функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[-1; 1]$.

Что больше: C или D? Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение значения C

Требуется найти наибольшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[1; 2]$.

Функция $y = x^2$ представляет собой параболу с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. На отрезке $[1; 2]$ данная функция является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Следовательно, наибольшее значение функции на указанном отрезке будет достигаться в его правом конце, то есть при $x = 2$.

Вычислим это значение:

$C = y(2) = 2^2 = 4$

Ответ: Наибольшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[1; 2]$ равно $C = 4$.

Нахождение значения D

Требуется найти наименьшее значение функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[-1; 1]$.

Функция $y = 2x + 3$ является линейной, её график — прямая линия. Угловой коэффициент $k=2$ положителен, что означает, что функция является строго возрастающей на всей области определения.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ будет достигаться в его левом конце, то есть при $x = -1$.

Вычислим это значение:

$D = y(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$

Ответ: Наименьшее значение функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[-1; 1]$ равно $D = 1$.

Сравнение C и D

Мы получили значения $C = 4$ и $D = 1$.

Сравнивая эти значения, видим, что $4 > 1$.

Таким образом, $C > D$.

Ответ: $C$ больше, чем $D$.

Графическая иллюстрация

Для наглядности построим графики обеих функций в одной системе координат. Выделим соответствующие отрезки на графиках.

На графике синим цветом выделен фрагмент параболы $y=x^2$ на отрезке $x \in [1; 2]$. Наибольшее значение $C=4$ достигается в точке $(2; 4)$.

Красным цветом выделен отрезок прямой $y=2x+3$ на отрезке $x \in [-1; 1]$. Наименьшее значение $D=1$ достигается в точке $(-1; 1)$.

Графическая иллюстрация подтверждает, что значение $C$ (ордината синей точки) больше значения $D$ (ордината красной точки).

44.43 Пусть $M$ — наибольшее значение функции $y = -x^2$ на отрезке $[-1; 3]$, а $N$ — наименьшее значение функции $y = x$ на том же отрезке. Что больше: $M$ или $N$? Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение наибольшего значения M функции $y = -x^2$ на отрезке $[-1; 3]$

Функция $y = -x^2$ является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине. Координаты вершины для параболы вида $y = ax^2+bx+c$ находятся по формуле $x_0 = -b/(2a)$. Для функции $y = -x^2$ имеем $a=-1, b=0, c=0$, следовательно, абсцисса вершины $x_0 = 0$.

Так как точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку $[-1; 3]$, то наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине параболы.

Найдем значение функции в этой точке: $y(0) = -0^2 = 0$.

Таким образом, наибольшее значение функции равно 0, то есть $M = 0$.

Ответ: $M = 0$.

2. Нахождение наименьшего значения N функции $y = x$ на отрезке $[-1; 3]$

Функция $y = x$ является линейной и возрастающей (коэффициент при $x$ равен 1, что больше 0). На любом отрезке возрастающая функция принимает свое наименьменьшее значение на левом конце отрезка.

Для отрезка $[-1; 3]$ левой границей является точка $x = -1$.

Найдем значение функции в этой точке: $y(-1) = -1$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -1, то есть $N = -1$.

Ответ: $N = -1$.

3. Сравнение M и N

Мы получили значения $M = 0$ и $N = -1$.

Сравнивая эти два числа, получаем, что $0 > -1$.

Следовательно, $M$ больше, чем $N$.

Ответ: $M > N$.

4. Графическая иллюстрация

Для наглядности построим графики обеих функций на отрезке $x \in [-1; 3]$ в одной системе координат.

• График функции $y = -x^2$ — это часть параболы (синий цвет).
• График функции $y = x$ — это отрезок прямой (красный цвет).

На графике точка M(0, 0) соответствует наибольшему значению функции $y=-x^2$ на отрезке. Ее ордината $y=0$ и есть значение $M$. Точка N(-1, -1) соответствует наименьшему значению функции $y=x$ на отрезке. Ее ордината $y=-1$ и есть значение $N$. Визуально подтверждается, что ордината точки $M$ больше ординаты точки $N$.

Ответ: Графическая иллюстрация представлена выше.

44.44 Пусть $L$ — наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; -1]$, а $N$ — наименьшее значение той же функции на отрезке $[1; 2]$.

Что больше: $L$ или $N$? Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение наименьшего значения L

Нам необходимо найти наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2; -1]$. Функция $y = x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0,0)$. На промежутке $(-\infty, 0]$ эта функция является монотонно убывающей. Поскольку отрезок $[-2; -1]$ полностью входит в этот промежуток, наименьшее значение функции на данном отрезке будет достигаться в его правой точке, то есть при $x = -1$. Вычислим значение функции в этой точке: $L = y(-1) = (-1)^2 = 1$.

Ответ: $L=1$.

2. Нахождение наименьшего значения N

Теперь найдем наименьшее значение той же функции $y = x^2$ на отрезке $[1; 2]$. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = x^2$ является монотонно возрастающей. Отрезок $[1; 2]$ полностью принадлежит этому промежутку. Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке будет достигаться в его левой точке, то есть при $x = 1$. Вычислим значение функции в этой точке: $N = y(1) = 1^2 = 1$.

Ответ: $N=1$.

3. Сравнение L и N

Мы получили, что наименьшее значение функции на отрезке $[-2; -1]$ равно $L=1$, и наименьшее значение на отрезке $[1; 2]$ также равно $N=1$. Сравнивая эти два значения, мы приходим к выводу, что они равны.

Ответ: $L = N$.

4. Графическая иллюстрация

Для наглядности построим график функции $y = x^2$. На графике выделим участки, соответствующие отрезкам $[-2; -1]$ и $[1; 2]$. Наименьшие значения $L$ и $N$ на этих отрезках соответствуют ординатам (значениям по оси y) точек $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. График наглядно демонстрирует, что эти значения равны 1.

44.45 Пусть $P$ — наименьшее значение функции $y = x^2$ на луче $(-\infty; 3]$,
а $Q$ — наименьшее значение той же функции на луче $(-\infty; 2]$.
Что больше: $P$ или $Q$? Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение наименьшего значения P

По условию, $P$ — это наименьшее значение функции $y = x^2$ на луче $(-\infty; 3]$. Функция $y = x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке $(0, 0)$. Вершина параболы является точкой глобального минимума функции. Нам нужно найти наименьшее значение на интервале $x \in (-\infty; 3]$. Поскольку абсцисса вершины $x = 0$ принадлежит этому интервалу ($0 \in (-\infty; 3]$), наименьшее значение функции на данном луче будет достигаться именно в вершине. Найдем это значение: $y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$. Следовательно, $P = 0$.
Ответ: $P = 0$.

2. Нахождение наименьшего значения Q

По условию, $Q$ — это наименьшее значение той же функции $y = x^2$ на луче $(-\infty; 2]$. Аналогично предыдущему пункту, мы ищем наименьшее значение функции $y = x^2$ на заданном интервале. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Проверим, принадлежит ли абсцисса вершины $x = 0$ лучу $(-\infty; 2]$. Да, принадлежит ($0 \in (-\infty; 2]$). Значит, наименьшее значение функции на этом луче также достигается в вершине. Найдем это значение: $y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$. Следовательно, $Q = 0$.
Ответ: $Q = 0$.

3. Сравнение P и Q

Мы получили, что наименьшее значение $P = 0$ и наименьшее значение $Q = 0$. Сравнивая эти два значения, мы приходим к выводу, что они равны.
Ответ: $P = Q$.

4. Графическая иллюстрация

На графике ниже изображена парабола $y = x^2$.

• Синим цветом показана часть параболы, соответствующая лучу $(-\infty; 3]$, на котором определяется значение $P$. Крайняя правая точка этого участка — $(3, 9)$.
• Красным цветом поверх синего показана часть параболы, соответствующая лучу $(-\infty; 2]$, на котором определяется значение $Q$. Крайняя правая точка этого участка — $(2, 4)$.

Как видно из графика, для обоих интервалов самая низкая точка графика — это вершина параболы $(0, 0)$. Поэтому наименьшее значение функции в обоих случаях равно 0.

44.46 Пусть A — наибольшее значение функции $y = x^2$ на полуинтервале $(-1; 2]$, а B — наименьшее значение функции $y = x + 2$ на луче $[3; +\infty)$. Что больше: A или B? Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение A

Рассмотрим функцию $y = x^2$ на полуинтервале $x \in (-1, 2]$. Эта функция представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. На промежутке $(-1, 0]$ функция убывает, а на промежутке $[0, 2]$ — возрастает. Следовательно, наибольшее значение функции на данном полуинтервале будет достигаться в точке, наиболее удаленной от вершины $x=0$. Расстояние от $x=0$ до левой границы $x=-1$ равно $1$, а до правой границы $x=2$ равно $2$. Так как $2 > 1$, наибольшее значение достигается при $x=2$. Вычислим это значение: $y(2) = 2^2 = 4$. Точка $x=2$ принадлежит полуинтервалу $(-1, 2]$, поэтому это значение является наибольшим. Таким образом, $A = 4$.

Ответ: $A = 4$.

2. Нахождение B

Рассмотрим функцию $y = x + 2$ на луче $x \in [3, +\infty)$. Это линейная функция, её график — прямая с угловым коэффициентом $k=1$, который больше нуля. Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения, в том числе и на луче $[3, +\infty)$. Наименьшее значение возрастающей функции на луче достигается в его начальной точке, то есть при $x=3$. Найдем это значение: $y(3) = 3 + 2 = 5$. Таким образом, $B = 5$.

Ответ: $B = 5$.

3. Сравнение A и B

Мы нашли, что $A = 4$ и $B = 5$. Сравнивая эти значения, получаем $5 > 4$, следовательно, $B > A$.

Ответ: $B > A$.

4. Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y=x^2$ на полуинтервале $(-1, 2]$ и $y=x+2$ на луче $[3, +\infty)$. На графике синим цветом показана часть параболы, а красным — часть прямой. Наибольшее значение $A=4$ для параболы отмечено на оси $y$. Наименьшее значение $B=5$ для прямой также отмечено на оси $y$.

44.47 Пусть $A$ — наибольшее значение функции $y = x^2$ на полуинтервале $[-3; 2)$, а $B$ — наименьшее значение функции $y = 3x$ на луче $[-1; +\infty)$. Что больше: $A$ или $B$?

Пусть A — наибольшее значение функции $y = x^2$ на полуинтервале [-3; 2)
Функция $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. На отрезке $[-3; 0]$ функция убывает от $y(-3)=9$ до $y(0)=0$. На полуинтервале $[0; 2)$ функция возрастает от $y(0)=0$ до значения, стремящегося к $y(2)=4$.
Чтобы найти наибольшее значение на всем полуинтервале $[-3; 2)$, нужно сравнить значения функции на его концах.
На левом конце: $y(-3) = (-3)^2 = 9$.
На правом конце (точка $x=2$ не включена), значение функции стремится к $2^2 = 4$.
Наибольшим из этих значений является 9.
Ответ: $A = 9$.

а B — наименьшее значение функции $y = 3x$ на луче [-1; +∞)
Функция $y = 3x$ — это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=3$, следовательно, она является возрастающей на всей своей области определения.
На луче $[-1; +\infty)$ возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в его начальной точке, то есть при $x = -1$.
Вычислим это значение: $y(-1) = 3 \cdot (-1) = -3$.
Ответ: $B = -3$.

Что больше: A или B?
Мы нашли значения $A = 9$ и $B = -3$.
Сравним эти два числа: $9 > -3$.
Ответ: A больше B.

44.48 Пусть R — наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-4; 4]$, а S — наибольшее значение функции $y = -x^2$ на отрезке $[-17; 10]$.

Не выполняя построения, сравните R и S.

1. Нахождение наименьшего значения R

Рассмотрим функцию $y = x^2$ на отрезке $[-4; 4]$. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Свое наименьшее значение функция принимает в вершине. Абсцисса вершины параболы $y = x^2$ равна $x_0 = 0$.

Поскольку точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-4; 4]$, наименьшее значение функции на этом отрезке совпадает со значением в вершине.

Вычислим значение функции в этой точке: $y(0) = 0^2 = 0$.

Следовательно, наименьшее значение функции на заданном отрезке равно 0, то есть $R = 0$.

2. Нахождение наибольшего значения S

Рассмотрим функцию $y = -x^2$ на отрезке $[-17; 10]$. Данная функция также является квадратичной, но ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине. Абсцисса вершины параболы $y = -x^2$ также равна $x_0 = 0$.

Поскольку точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-17; 10]$, наибольшее значение функции на этом отрезке совпадает со значением в вершине.

Вычислим значение функции в этой точке: $y(0) = -0^2 = 0$.

Следовательно, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 0, то есть $S = 0$.

3. Сравнение R и S

Мы установили, что $R = 0$ и $S = 0$. Сравнивая эти значения, мы приходим к выводу, что они равны.

Ответ: $R = S$.

44.49 Найдите точки пересечения параболы и прямой:

а) $y = x^2$ и $y = -2x - 1$;

б) $y = -x^2$ и $y = 2x + 1$;

в) $y = x^2$ и $y = 4x - 4$;

г) $y = -x^2$ и $y = -4x + 4$.

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение относительно $x$. Затем, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений, найти соответствующие значения $y$.

а) $y = x^2$ и $y = -2x - 1$

Приравниваем правые части уравнений:
$x^2 = -2x - 1$
Переносим все члены уравнения в левую часть:
$x^2 + 2x + 1 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы:
$(x + 1)^2 = 0$
Решаем уравнение:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Мы получили одно значение $x$, это значит, что графики имеют одну общую точку (прямая касается параболы).
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -1$ в уравнение параболы:
$y = x^2 = (-1)^2 = 1$
Точка пересечения имеет координаты $(-1; 1)$.
Ответ: $(-1; 1)$.

б) $y = -x^2$ и $y = 2x + 1$

Приравниваем правые части уравнений:
$-x^2 = 2x + 1$
Переносим все члены уравнения в правую часть:
$0 = x^2 + 2x + 1$
Сворачиваем по формуле полного квадрата:
$(x + 1)^2 = 0$
Решаем уравнение:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -1$ в уравнение параболы:
$y = -x^2 = -(-1)^2 = -1$
Точка пересечения имеет координаты $(-1; -1)$.
Ответ: $(-1; -1)$.

в) $y = x^2$ и $y = 4x - 4$

Приравниваем правые части уравнений:
$x^2 = 4x - 4$
Переносим все члены уравнения в левую часть:
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:
$(x - 2)^2 = 0$
Решаем уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в уравнение параболы:
$y = x^2 = 2^2 = 4$
Точка пересечения имеет координаты $(2; 4)$.
Ответ: $(2; 4)$.

г) $y = -x^2$ и $y = -4x + 4$

Приравниваем правые части уравнений:
$-x^2 = -4x + 4$
Переносим все члены уравнения в правую часть:
$0 = x^2 - 4x + 4$
Сворачиваем по формуле полного квадрата:
$(x - 2)^2 = 0$
Решаем уравнение:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в уравнение параболы:
$y = -x^2 = -(2)^2 = -4$
Точка пересечения имеет координаты $(2; -4)$.
Ответ: $(2; -4)$.