Номер 44.42, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.42 Пусть C — наибольшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[1; 2]$,

а D — наименьшее значение функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[-1; 1]$.

Что больше: C или D? Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение значения C

Требуется найти наибольшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[1; 2]$.

Функция $y = x^2$ представляет собой параболу с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. На отрезке $[1; 2]$ данная функция является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Следовательно, наибольшее значение функции на указанном отрезке будет достигаться в его правом конце, то есть при $x = 2$.

Вычислим это значение:

$C = y(2) = 2^2 = 4$

Ответ: Наибольшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[1; 2]$ равно $C = 4$.

Нахождение значения D

Требуется найти наименьшее значение функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[-1; 1]$.

Функция $y = 2x + 3$ является линейной, её график — прямая линия. Угловой коэффициент $k=2$ положителен, что означает, что функция является строго возрастающей на всей области определения.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ будет достигаться в его левом конце, то есть при $x = -1$.

Вычислим это значение:

$D = y(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$

Ответ: Наименьшее значение функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[-1; 1]$ равно $D = 1$.

Сравнение C и D

Мы получили значения $C = 4$ и $D = 1$.

Сравнивая эти значения, видим, что $4 > 1$.

Таким образом, $C > D$.

Ответ: $C$ больше, чем $D$.

Графическая иллюстрация

Для наглядности построим графики обеих функций в одной системе координат. Выделим соответствующие отрезки на графиках.

На графике синим цветом выделен фрагмент параболы $y=x^2$ на отрезке $x \in [1; 2]$. Наибольшее значение $C=4$ достигается в точке $(2; 4)$.

Красным цветом выделен отрезок прямой $y=2x+3$ на отрезке $x \in [-1; 1]$. Наименьшее значение $D=1$ достигается в точке $(-1; 1)$.

Графическая иллюстрация подтверждает, что значение $C$ (ордината синей точки) больше значения $D$ (ордината красной точки).