Номер 44.43, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.43 Пусть $M$ — наибольшее значение функции $y = -x^2$ на отрезке $[-1; 3]$, а $N$ — наименьшее значение функции $y = x$ на том же отрезке. Что больше: $M$ или $N$? Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение наибольшего значения M функции $y = -x^2$ на отрезке $[-1; 3]$

Функция $y = -x^2$ является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине. Координаты вершины для параболы вида $y = ax^2+bx+c$ находятся по формуле $x_0 = -b/(2a)$. Для функции $y = -x^2$ имеем $a=-1, b=0, c=0$, следовательно, абсцисса вершины $x_0 = 0$.

Так как точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку $[-1; 3]$, то наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине параболы.

Найдем значение функции в этой точке: $y(0) = -0^2 = 0$.

Таким образом, наибольшее значение функции равно 0, то есть $M = 0$.

Ответ: $M = 0$.

2. Нахождение наименьшего значения N функции $y = x$ на отрезке $[-1; 3]$

Функция $y = x$ является линейной и возрастающей (коэффициент при $x$ равен 1, что больше 0). На любом отрезке возрастающая функция принимает свое наименьменьшее значение на левом конце отрезка.

Для отрезка $[-1; 3]$ левой границей является точка $x = -1$.

Найдем значение функции в этой точке: $y(-1) = -1$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -1, то есть $N = -1$.

Ответ: $N = -1$.

3. Сравнение M и N

Мы получили значения $M = 0$ и $N = -1$.

Сравнивая эти два числа, получаем, что $0 > -1$.

Следовательно, $M$ больше, чем $N$.

Ответ: $M > N$.

4. Графическая иллюстрация

Для наглядности построим графики обеих функций на отрезке $x \in [-1; 3]$ в одной системе координат.

• График функции $y = -x^2$ — это часть параболы (синий цвет).
• График функции $y = x$ — это отрезок прямой (красный цвет).

На графике точка M(0, 0) соответствует наибольшему значению функции $y=-x^2$ на отрезке. Ее ордината $y=0$ и есть значение $M$. Точка N(-1, -1) соответствует наименьшему значению функции $y=x$ на отрезке. Ее ордината $y=-1$ и есть значение $N$. Визуально подтверждается, что ордината точки $M$ больше ординаты точки $N$.

Ответ: Графическая иллюстрация представлена выше.