Номер 44.46, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

44.46 Пусть A — наибольшее значение функции $y = x^2$ на полуинтервале $(-1; 2]$, а B — наименьшее значение функции $y = x + 2$ на луче $[3; +\infty)$. Что больше: A или B? Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение A

Рассмотрим функцию $y = x^2$ на полуинтервале $x \in (-1, 2]$. Эта функция представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. На промежутке $(-1, 0]$ функция убывает, а на промежутке $[0, 2]$ — возрастает. Следовательно, наибольшее значение функции на данном полуинтервале будет достигаться в точке, наиболее удаленной от вершины $x=0$. Расстояние от $x=0$ до левой границы $x=-1$ равно $1$, а до правой границы $x=2$ равно $2$. Так как $2 > 1$, наибольшее значение достигается при $x=2$. Вычислим это значение: $y(2) = 2^2 = 4$. Точка $x=2$ принадлежит полуинтервалу $(-1, 2]$, поэтому это значение является наибольшим. Таким образом, $A = 4$.

Ответ: $A = 4$.

2. Нахождение B

Рассмотрим функцию $y = x + 2$ на луче $x \in [3, +\infty)$. Это линейная функция, её график — прямая с угловым коэффициентом $k=1$, который больше нуля. Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения, в том числе и на луче $[3, +\infty)$. Наименьшее значение возрастающей функции на луче достигается в его начальной точке, то есть при $x=3$. Найдем это значение: $y(3) = 3 + 2 = 5$. Таким образом, $B = 5$.

Ответ: $B = 5$.

3. Сравнение A и B

Мы нашли, что $A = 4$ и $B = 5$. Сравнивая эти значения, получаем $5 > 4$, следовательно, $B > A$.

Ответ: $B > A$.

4. Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y=x^2$ на полуинтервале $(-1, 2]$ и $y=x+2$ на луче $[3, +\infty)$. На графике синим цветом показана часть параболы, а красным — часть прямой. Наибольшее значение $A=4$ для параболы отмечено на оси $y$. Наименьшее значение $B=5$ для прямой также отмечено на оси $y$.