Номер 44.53, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Постройте график функции:

44.53 а) $y = \frac{2x^2}{x}$;

б) $y = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$;

в) $y = -\frac{x^2}{x}$;

г) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

а) $y = \frac{2x^2}{x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. При условии $x \neq 0$ мы можем упростить выражение функции, сократив дробь на $x$: $y = \frac{2x^2}{x} = 2x$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = 2x$, за исключением одной точки. График функции $y = 2x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Так как $x=0$ не входит в область определения исходной функции, точка на прямой $y=2x$ с абсциссой $x=0$ должна быть "выколота". Найдем ординату этой точки: $y = 2 \cdot 0 = 0$. Следовательно, из графика исключается точка с координатами $(0, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой прямую $y = 2x$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

б) $y = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$. Разложим числитель дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.

Теперь упростим функцию при $x \neq 3$: $y = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$. Графиком данной функции является прямая $y = x+3$, из которой удалена точка с абсциссой $x=3$. Найдем координаты этой выколотой точки: при $x=3$, $y = 3 + 3 = 6$. Значит, из графика исключена точка $(3, 6)$.

Ответ: График функции представляет собой прямую $y = x+3$ с выколотой точкой $(3, 6)$.

в) $y = -\frac{x^2}{x}$

Область определения функции: $x \neq 0$. При $x \neq 0$ упростим выражение: $y = -\frac{x^2}{x} = -x$.

Графиком функции является прямая $y = -x$ (биссектриса II и IV координатных четвертей). Так как $x=0$ не принадлежит области определения, точка на этой прямой с абсциссой $x=0$ должна быть выколота. Найдем ее координаты: при $x=0$, $y = -0 = 0$. Следовательно, из графика исключается точка $(0, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой прямую $y = -x$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

г) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Область определения функции: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$.

Упростим функцию на ее области определения: $y = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$. Графиком этой функции является прямая $y = x-2$, на которой выколота точка с абсциссой $x=-2$. Найдем ординату этой точки: $y = -2 - 2 = -4$. Следовательно, из графика исключена точка с координатами $(-2, -4)$.

Ответ: График функции представляет собой прямую $y = x-2$ с выколотой точкой $(-2, -4)$.