Страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

45.13 a) $-x^2 = 4 - x;$

б) $\frac{2x - 1}{2} = -x^2;$

B) $-x^2 = \frac{4}{3}x;$

г) $4x + 2 = -x^2.$

а)

Дано уравнение: $-x^2 = 4 - x$.

Для решения данного уравнения необходимо привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все члены уравнения в одну сторону. Перенесем $-x^2$ в правую часть, изменив знак:

$0 = x^2 - x + 4$

Теперь у нас есть квадратное уравнение $x^2 - x + 4 = 0$, где коэффициенты равны: $a=1$, $b=-1$, $c=4$.

Чтобы найти корни уравнения, вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

б)

Дано уравнение: $\frac{2x - 1}{2} = -x^2$.

Сначала избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 2:

$2x - 1 = -2x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 + 2x - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=2$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4}$

Упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}, x_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$.

в)

Дано уравнение: $-x^2 = \frac{4}{3}x$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$-x^2 - \frac{4}{3}x = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным:

$x^2 + \frac{4}{3}x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Его можно решить, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + \frac{4}{3}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два решения:

$x_1 = 0$

или

$x + \frac{4}{3} = 0 \implies x_2 = -\frac{4}{3}$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{4}{3}$.

г)

Дано уравнение: $4x + 2 = -x^2$.

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 + 4x + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=4$, $c=2$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{4 \cdot 2}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

Упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{2}$

Ответ: $x_1 = -2 - \sqrt{2}, x_2 = -2 + \sqrt{2}$.

Решите графически уравнение:

45.14 a) $\frac{2x^4}{x^3} = -x^2$;

б) $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x^2$;

в) $x^2 = \frac{3x^8}{x^7}$;

г) $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = -x^2$.

а)

Чтобы решить уравнение $\frac{2x^4}{x^3} = -x^2$ графически, построим графики двух функций в одной системе координат: $y = \frac{2x^4}{x^3}$ и $y = -x^2$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Рассмотрим функцию $y = \frac{2x^4}{x^3}$. Область определения этой функции — все числа, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $x^3 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. На области определения функцию можно упростить: $y = 2x$. Графиком этой функции является прямая $y = 2x$ с выколотой точкой при $x=0$. Координаты выколотой точки: $(0, 2 \cdot 0) = (0, 0)$.

2. Рассмотрим функцию $y = -x^2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$.

3. Построим графики прямой $y = 2x$ (с выколотой точкой в начале координат) и параболы $y = -x^2$.

Из графика видно, что графики пересекаются в одной точке. Чтобы найти ее координаты, приравняем выражения для $y$:
$2x = -x^2$
$x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$
Получаем два возможных значения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Поскольку $x=0$ не входит в область определения исходной функции, это посторонний корень. Точка $(0, 0)$ является выколотой на графике прямой. Единственная точка пересечения графиков имеет абсциссу $x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

б)

Решим уравнение $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x^2$ графически. Для этого построим графики функций $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ и $y = x^2$.

1. Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Область определения: $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Упростим функцию, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов:
$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$.
Графиком является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой при $x=2$. Координаты выколотой точки: $(2, 2 + 2) = (2, 4)$.

2. Функция $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

3. Построим графики прямой $y = x + 2$ (с выколотой точкой $(2, 4)$) и параболы $y = x^2$.

Найдем абсциссы точек пересечения:
$x + 2 = x^2$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Значение $x=2$ не входит в область определения исходной функции. Точка $(2, 4)$ является выколотой на графике прямой, поэтому пересечения в этой точке нет. Единственным решением является абсцисса второй точки пересечения $x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

в)

Решим уравнение $x^2 = \frac{3x^8}{x^7}$ графически. Построим графики функций $y = x^2$ и $y = \frac{3x^8}{x^7}$.

1. Рассмотрим функцию $y = x^2$. Ее график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями вверх.

2. Рассмотрим функцию $y = \frac{3x^8}{x^7}$. Область определения: $x^7 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Упростим выражение:
$y = 3x^{8-7} = 3x$.
Графиком является прямая $y = 3x$ с выколотой точкой при $x=0$. Координаты выколотой точки: $(0, 3 \cdot 0) = (0, 0)$.

3. Построим графики параболы $y = x^2$ и прямой $y = 3x$ (с выколотой точкой $(0,0)$).

Найдем абсциссы точек пересечения:
$x^2 = 3x$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Значение $x=0$ не входит в область определения функции $y = \frac{3x^8}{x^7}$. Точка $(0, 0)$ является выколотой на графике прямой. Следовательно, единственным решением является $x = 3$.

Ответ: $x = 3$.

г)

Решим уравнение $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = -x^2$ графически. Построим графики функций $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$ и $y = -x^2$.

1. Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$. Область определения: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Упростим функцию:
$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2$.
Графиком является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой при $x=-2$. Координаты выколотой точки: $(-2, -2 - 2) = (-2, -4)$.

2. Функция $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз.

3. Построим графики прямой $y = x - 2$ (с выколотой точкой $(-2, -4)$) и параболы $y = -x^2$.

Найдем абсциссы точек пересечения:
$x - 2 = -x^2$
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Значение $x=-2$ не входит в область определения исходной функции. Точка $(-2, -4)$ является выколотой на графике прямой, поэтому пересечения в этой точке нет. Единственным решением является абсцисса второй точки пересечения $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

45.15 a) $\frac{x^3 - x^2}{x - 1} = -2x + 3;$

Б) $-\frac{x^3 + 2x^2}{x + 2} = x - 2;$

В) $\frac{x^3 - 3x^2}{x - 3} = x + 6;$

Г) $-\frac{4x^2 + x^3}{x + 4} = 2x - 8.$

а) $\frac{x^3 - x^2}{x - 1} = -2x + 3$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Упростим левую часть уравнения, вынеся общий множитель $x^2$ в числителе за скобки:

$\frac{x^2(x - 1)}{x - 1} = -2x + 3$

Поскольку $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$x^2 = -2x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3$.

б) $-\frac{x^3 + 2x^2}{x + 2} = x - 2$

ОДЗ: знаменатель $x + 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Упростим левую часть уравнения, вынеся $x^2$ за скобки в числителе:

$-\frac{x^2(x + 2)}{x + 2} = x - 2$

При $x \neq -2$ сокращаем дробь на $(x + 2)$:

$-x^2 = x - 2$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = x^2 + x - 2$

Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$).

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$.

в) $\frac{x^3 - 3x^2}{x - 3} = x + 6$

ОДЗ: знаменатель $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{x^2(x - 3)}{x - 3} = x + 6$

При $x \neq 3$ сокращаем дробь на $(x - 3)$:

$x^2 = x + 6$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-2$.

г) $-\frac{4x^2 + x^3}{x + 4} = 2x - 8$

ОДЗ: знаменатель $x + 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

Упростим левую часть уравнения. Для удобства поменяем слагаемые в числителе местами и вынесем общий множитель $x^2$:

$-\frac{x^3 + 4x^2}{x + 4} = 2x - 8$

$-\frac{x^2(x + 4)}{x + 4} = 2x - 8$

При $x \neq -4$ сокращаем дробь на $(x + 4)$:

$-x^2 = 2x - 8$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = x^2 + 2x - 8$

Решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -8$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -4$).

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.

45.16 При каких значениях p данное уравнение имеет один корень:

а) $ \frac{2x^3 + 6x^2}{2x + 6} = p; $

б) $ \frac{x^4 - 4x^3}{x^2 - 4x} = p; $

в) $ \frac{9x^2 - 3x^3}{3x - 9} = p; $

г) $ \frac{x^4 - 2x^3}{x^2 - 2x} = p? $

а) Исходное уравнение: $\frac{2x^3 + 6x^2}{2x + 6} = p$. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $2x + 6 \neq 0$, что означает $2x \neq -6$, и, следовательно, $x \neq -3$. Теперь упростим левую часть уравнения, вынеся общие множители за скобки в числителе и знаменателе: $\frac{2x^2(x + 3)}{2(x + 3)} = p$. При условии, что $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $2(x+3)$. Получаем уравнение: $x^2 = p$. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} x^2 = p \\ x \neq -3 \end{cases}$ Рассмотрим возможные значения $p$: 1. Если $p < 0$, уравнение $x^2 = p$ не имеет действительных корней. 2. Если $p = 0$, уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень $x = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq -3$), поэтому при $p=0$ исходное уравнение имеет один корень. 3. Если $p > 0$, уравнение $x^2 = p$ имеет два корня: $x_1 = \sqrt{p}$ и $x_2 = -\sqrt{p}$. Исходное уравнение будет иметь один корень только в том случае, если один из этих корней будет равен $-3$ (и, следовательно, будет исключен из решения), а второй корень не будет равен $-3$. Проверим, когда один из корней равен $-3$: $-\sqrt{p} = -3 \implies \sqrt{p} = 3 \implies p = 9$. При $p=9$ уравнение $x^2=9$ имеет корни $x=3$ и $x=-3$. Корень $x=-3$ не удовлетворяет ОДЗ, а корень $x=3$ удовлетворяет. Следовательно, при $p=9$ исходное уравнение имеет ровно один корень $x=3$. Случай $\sqrt{p} = -3$ невозможен, так как корень не может быть отрицательным. Таким образом, уравнение имеет один корень при $p=0$ и $p=9$.
Ответ: $p=0; 9$.

б) Исходное уравнение: $\frac{x^4 - 4x^3}{x^2 - 4x} = p$. ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x^2 - 4x \neq 0 \implies x(x - 4) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 4$. Упростим левую часть уравнения: $\frac{x^3(x - 4)}{x(x - 4)} = p$. При $x \neq 0$ и $x \neq 4$ сокращаем дробь и получаем $x^2 = p$. Исходное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} x^2 = p \\ x \neq 0 \\ x \neq 4 \end{cases}$ Рассмотрим возможные значения $p$: 1. Если $p < 0$, уравнение $x^2 = p$ не имеет корней. 2. Если $p = 0$, уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень $x=0$. Однако это значение исключено из ОДЗ. Значит, при $p=0$ исходное уравнение корней не имеет. 3. Если $p > 0$, уравнение $x^2 = p$ имеет два корня: $x_1 = \sqrt{p}$ и $x_2 = -\sqrt{p}$. Чтобы исходное уравнение имело один корень, один из этих корней должен быть исключен ОДЗ ($x=0$ или $x=4$), а другой должен быть допустимым. Случай $x=0$ приводит к $p=0$, который мы уже рассмотрели (нет корней). Рассмотрим случай, когда один из корней равен $4$: $\sqrt{p} = 4 \implies p = 16$. При $p=16$ уравнение $x^2=16$ имеет корни $x=4$ и $x=-4$. Корень $x=4$ исключен из ОДЗ, а корень $x=-4$ является допустимым ($-4 \neq 0$ и $-4 \neq 4$). Таким образом, при $p=16$ исходное уравнение имеет один корень $x=-4$. Случай $-\sqrt{p} = 4$ невозможен.
Ответ: $p=16$.

в) Исходное уравнение: $\frac{9x^2 - 3x^3}{3x - 9} = p$. ОДЗ: $3x - 9 \neq 0 \implies 3x \neq 9 \implies x \neq 3$. Упростим левую часть: $\frac{3x^2(3 - x)}{3(x - 3)} = \frac{-3x^2(x - 3)}{3(x - 3)} = p$. При $x \neq 3$ сокращаем дробь и получаем $-x^2 = p$, что равносильно $x^2 = -p$. Исходное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} x^2 = -p \\ x \neq 3 \end{cases}$ Рассмотрим возможные значения $p$: 1. Если $-p < 0$ (то есть $p > 0$), уравнение $x^2 = -p$ не имеет действительных корней. 2. Если $-p = 0$ (то есть $p = 0$), уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень $x=0$. Он удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq 3$). Следовательно, при $p=0$ исходное уравнение имеет один корень. 3. Если $-p > 0$ (то есть $p < 0$), уравнение $x^2 = -p$ имеет два корня: $x_1 = \sqrt{-p}$ и $x_2 = -\sqrt{-p}$. Исходное уравнение будет иметь один корень, если один из этих корней равен $3$. $\sqrt{-p} = 3 \implies -p = 9 \implies p = -9$. При $p=-9$ уравнение $x^2=9$ имеет корни $x=3$ и $x=-3$. Корень $x=3$ исключен из ОДЗ, а корень $x=-3$ является допустимым. Таким образом, при $p=-9$ исходное уравнение имеет один корень $x=-3$. Случай $-\sqrt{-p} = 3$ невозможен.
Ответ: $p=-9; 0$.

г) Исходное уравнение: $\frac{x^4 - 2x^3}{x^2 - 2x} = p$. ОДЗ: $x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x - 2) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Упростим левую часть уравнения: $\frac{x^3(x - 2)}{x(x - 2)} = p$. При $x \neq 0$ и $x \neq 2$ сокращаем дробь и получаем $x^2 = p$. Исходное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} x^2 = p \\ x \neq 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$ Рассмотрим возможные значения $p$: 1. Если $p < 0$, уравнение $x^2 = p$ не имеет корней. 2. Если $p = 0$, уравнение $x^2 = 0$ имеет корень $x=0$, который исключен из ОДЗ. Значит, при $p=0$ корней нет. 3. Если $p > 0$, уравнение $x^2 = p$ имеет два корня: $x_1 = \sqrt{p}$ и $x_2 = -\sqrt{p}$. Чтобы исходное уравнение имело один корень, один из этих корней должен быть исключен ОДЗ ($x=0$ или $x=2$), а другой должен быть допустимым. Случай $x=0$ приводит к $p=0$, который мы уже рассмотрели. Рассмотрим случай, когда один из корней равен $2$: $\sqrt{p} = 2 \implies p = 4$. При $p=4$ уравнение $x^2=4$ имеет корни $x=2$ и $x=-2$. Корень $x=2$ исключен из ОДЗ, а корень $x=-2$ является допустимым ($-2 \neq 0$ и $-2 \neq 2$). Таким образом, при $p=4$ исходное уравнение имеет один корень $x=-2$. Случай $-\sqrt{p} = 2$ невозможен.
Ответ: $p=4$.

46.1 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 8x$. Найдите:

а) $f(0)$, $f(-2)$, $f(1)$, $f(\frac{1}{2})$;

б) $f(a)$, $f(-a)$, $f(2a)$, $f(-\frac{1}{4}a)$;

в) $f(b + 2)$, $f(1 - b)$, $f(3b - 8)$, $f(7 - \frac{b}{8})$;

г) $f(c) + 3$, $f(-3c) - 1$, $-f(c - 3)$, $-f(c) + 1$.

а) Для нахождения значений функции $f(x) = 8x$ необходимо подставить в нее соответствующие значения аргумента $x$.
$f(0) = 8 \cdot 0 = 0$
$f(-2) = 8 \cdot (-2) = -16$
$f(1) = 8 \cdot 1 = 8$
$f(\frac{1}{2}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$
Ответ: $f(0) = 0$; $f(-2) = -16$; $f(1) = 8$; $f(\frac{1}{2}) = 4$.

б) Аналогично подставляем выражения с переменной $a$ в качестве аргумента функции $f(x) = 8x$ и упрощаем.
$f(a) = 8 \cdot a = 8a$
$f(-a) = 8 \cdot (-a) = -8a$
$f(2a) = 8 \cdot (2a) = 16a$
$f(-\frac{1}{4}a) = 8 \cdot (-\frac{1}{4}a) = -\frac{8}{4}a = -2a$
Ответ: $f(a) = 8a$; $f(-a) = -8a$; $f(2a) = 16a$; $f(-\frac{1}{4}a) = -2a$.

в) Подставляем в функцию $f(x) = 8x$ выражения с переменной $b$, раскрываем скобки и упрощаем.
$f(b + 2) = 8(b + 2) = 8b + 16$
$f(1 - b) = 8(1 - b) = 8 - 8b$
$f(3b - 8) = 8(3b - 8) = 24b - 64$
$f(7 - \frac{b}{8}) = 8(7 - \frac{b}{8}) = 8 \cdot 7 - 8 \cdot \frac{b}{8} = 56 - b$
Ответ: $f(b + 2) = 8b + 16$; $f(1 - b) = 8 - 8b$; $f(3b - 8) = 24b - 64$; $f(7 - \frac{b}{8}) = 56 - b$.

г) В данных выражениях сначала находим значение функции $f(x)=8x$ от указанного аргумента, а затем выполняем требуемые арифметические действия.
$f(c) + 3 = (8c) + 3 = 8c + 3$
$f(-3c) - 1 = 8(-3c) - 1 = -24c - 1$
$-f(c - 3) = -[8(c - 3)] = -(8c - 24) = 24 - 8c$
$-f(c) + 1 = -(8c) + 1 = 1 - 8c$
Ответ: $f(c) + 3 = 8c + 3$; $f(-3c) - 1 = -24c - 1$; $-f(c - 3) = 24 - 8c$; $-f(c) + 1 = 1 - 8c$.