Страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Из трёх элементов ${a, b, c}$ надо составить группу № 1 и группу № 2. Сколько имеется способов, при которых:

а) группа № 1 состоит из одного элемента;

б) группа № 1 состоит из двух элементов;

в) в группе № 2 есть элемент $c$;

г) в группе № 2 нет элемента $b$?

В каждом из вопросов а) — г) выпишите все нужные способы.

Для решения задачи будем исходить из того, что "составить группу № 1 и группу № 2" означает разбить исходное множество элементов $S = \{a, b, c\}$ на две непересекающиеся группы. Это значит, что каждый элемент из $S$ должен принадлежать ровно одной из двух групп. Математически это можно записать как $G_1 \cup G_2 = S$ и $G_1 \cap G_2 = \emptyset$.

а) группа № 1 состоит из одного элемента

Согласно условию, в Группе № 1 должен быть ровно один элемент ($|G_1|=1$). Нам нужно выбрать этот элемент из множества $\{a, b, c\}$. Количество способов сделать такой выбор равно числу сочетаний из 3 по 1: $C_3^1 = \binom{3}{1} = 3$. Оставшиеся два элемента автоматически помещаются в Группу № 2, так как все элементы должны быть распределены.

Выпишем все три способа:

• Группа № 1: $\{a\}$, Группа № 2: $\{b, c\}$
• Группа № 1: $\{b\}$, Группа № 2: $\{a, c\}$
• Группа № 1: $\{c\}$, Группа № 2: $\{a, b\}$

Ответ: 3 способа.

б) группа № 1 состоит из двух элементов

По условию, в Группе № 1 должно быть ровно два элемента ($|G_1|=2$). Выберем эти два элемента из множества $\{a, b, c\}$. Количество способов это сделать равно числу сочетаний из 3 по 2: $C_3^2 = \binom{3}{2} = 3$. Оставшийся один элемент автоматически отправляется в Группу № 2.

Выпишем все три способа:

• Группа № 1: $\{a, b\}$, Группа № 2: $\{c\}$
• Группа № 1: $\{a, c\}$, Группа № 2: $\{b\}$
• Группа № 1: $\{b, c\}$, Группа № 2: $\{a\}$

Ответ: 3 способа.

в) в группе № 2 есть элемент c

Условие, что элемент $c$ находится в Группе № 2 ($c \in G_2$), фиксирует его положение. Нам остается распределить два оставшихся элемента, $a$ и $b$. Каждый из них может попасть либо в Группу № 1, либо в Группу № 2. Для элемента $a$ есть 2 варианта, и для элемента $b$ также 2 варианта. Общее число способов равно $2 \times 2 = 4$.

Выпишем все четыре способа:

• Элементы $a$ и $b$ в Группе № 1. Тогда Группа № 1: $\{a, b\}$, Группа № 2: $\{c\}$.
• Элемент $a$ в Группе № 1, элемент $b$ в Группе № 2. Тогда Группа № 1: $\{a\}$, Группа № 2: $\{b, c\}$.
• Элемент $a$ в Группе № 2, элемент $b$ в Группе № 1. Тогда Группа № 1: $\{b\}$, Группа № 2: $\{a, c\}$.
• Элементы $a$ и $b$ в Группе № 2. Тогда Группа № 1: $\emptyset$, Группа № 2: $\{a, b, c\}$.

Ответ: 4 способа.

г) в группе № 2 нет элемента b

Условие, что в Группе № 2 нет элемента $b$ ($b \notin G_2$), означает, что он должен находиться в Группе № 1 ($b \in G_1$). Положение элемента $b$ зафиксировано. Нам нужно распределить оставшиеся два элемента, $a$ и $c$. Каждый из них может быть либо в Группе № 1, либо в Группе № 2. Для элемента $a$ есть 2 варианта, и для элемента $c$ также 2 варианта. Общее число способов равно $2 \times 2 = 4$.

Выпишем все четыре способа:

• Элементы $a$ и $c$ в Группе № 1. Тогда Группа № 1: $\{a, b, c\}$, Группа № 2: $\emptyset$.
• Элемент $a$ в Группе № 1, элемент $c$ в Группе № 2. Тогда Группа № 1: $\{a, b\}$, Группа № 2: $\{c\}$.
• Элемент $a$ в Группе № 2, элемент $c$ в Группе № 1. Тогда Группа № 1: $\{b, c\}$, Группа № 2: $\{a\}$.
• Элементы $a$ и $c$ в Группе № 2. Тогда Группа № 1: $\{b\}$, Группа № 2: $\{a, c\}$.

Ответ: 4 способа.

2. На столбчатой диаграмме (рис. 81) указано количество избирателей, проголосовавших за кандидатов Иванова, Петрова, Сидорова, Кузнецова, Сергеева, Семёнова.

Иванов: 910
Петров: 1490
Сидоров: 2215
Кузнецов: 2285
Сергеев: 1880
Семёнов: 1220

Кандидаты стали думать про объединения в различные группы. Составьте столбчатые диаграммы количества избирателей, проголосовавших за группы кандидатов:

а) {Иванов, Петров}, {Сидоров, Кузнецов}, {Сергеев, Семёнов};

б) {Иванов, Кузнецов}, {Сидоров, Сергеев}, {Петров, Семёнов};

в) {Семёнов, Сидоров}, {Иванов, Сергеев}, {Петров, Кузнецов};

г) {Иванов, Петров, Сидоров}, {Кузнецов, Сергеев, Семёнов}.

В каждом из случаев а) — г) подсчитайте размах. В каком случае он наибольший?

Для решения задачи сначала выпишем количество голосов за каждого кандидата из исходной диаграммы:

• Иванов: 910
• Петров: 1490
• Сидоров: 2215
• Кузнецов: 2285
• Сергеев: 1880
• Семёнов: 1220

Далее для каждого случая (а-г) мы рассчитаем суммарное количество голосов для каждой группы. На основе этих сумм мы можем представить новые столбчатые диаграммы. Затем для каждого случая мы найдем размах, который является разностью между наибольшим и наименьшим значением в наборе данных.

Рассчитаем суммарные голоса для групп {Иванов, Петров}, {Сидоров, Кузнецов}, {Сергеев, Семёнов}:

• Группа {Иванов, Петров}: $910 + 1490 = 2400$ голосов.
• Группа {Сидоров, Кузнецов}: $2215 + 2285 = 4500$ голосов.
• Группа {Сергеев, Семёнов}: $1880 + 1220 = 3100$ голосов.

Новая столбчатая диаграмма будет состоять из трёх столбцов со значениями 2400, 4500 и 3100.
Размах для этих данных: $4500 - 2400 = 2100$.

Ответ: значения для новой диаграммы: 2400, 4500, 3100; размах: 2100.

Рассчитаем суммарные голоса для групп {Иванов, Кузнецов}, {Сидоров, Сергеев}, {Петров, Семёнов}:

• Группа {Иванов, Кузнецов}: $910 + 2285 = 3195$ голосов.
• Группа {Сидоров, Сергеев}: $2215 + 1880 = 4095$ голосов.
• Группа {Петров, Семёнов}: $1490 + 1220 = 2710$ голосов.

Новая столбчатая диаграмма будет состоять из трёх столбцов со значениями 3195, 4095 и 2710.
Размах для этих данных: $4095 - 2710 = 1385$.

Ответ: значения для новой диаграммы: 3195, 4095, 2710; размах: 1385.

Рассчитаем суммарные голоса для групп {Семёнов, Сидоров}, {Иванов, Сергеев}, {Петров, Кузнецов}:

• Группа {Семёнов, Сидоров}: $1220 + 2215 = 3435$ голосов.
• Группа {Иванов, Сергеев}: $910 + 1880 = 2790$ голосов.
• Группа {Петров, Кузнецов}: $1490 + 2285 = 3775$ голосов.

Новая столбчатая диаграмма будет состоять из трёх столбцов со значениями 3435, 2790 и 3775.
Размах для этих данных: $3775 - 2790 = 985$.

Ответ: значения для новой диаграммы: 3435, 2790, 3775; размах: 985.

Рассчитаем суммарные голоса для групп {Иванов, Петров, Сидоров}, {Кузнецов, Сергеев, Семёнов}:

• Группа {Иванов, Петров, Сидоров}: $910 + 1490 + 2215 = 4615$ голосов.
• Группа {Кузнецов, Сергеев, Семёнов}: $2285 + 1880 + 1220 = 5385$ голосов.

Новая столбчатая диаграмма будет состоять из двух столбцов со значениями 4615 и 5385.
Размах для этих данных: $5385 - 4615 = 770$.

Ответ: значения для новой диаграммы: 4615, 5385; размах: 770.

Сравним полученные значения размаха для всех случаев:

• а) 2100
• б) 1385
• в) 985
• г) 770

Наибольшее значение размаха (2100) было получено в случае а).

Ответ: Наибольший размах равен 2100, он получен в случае а).