Страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Графическое решение уравнений.

Графический метод решения уравнений — это способ нахождения корней уравнения с помощью построения графиков функций. Корнями уравнения являются абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

Суть графического метода

Чтобы решить уравнение, его представляют в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$. Затем в одной системе координат строят графики этих функций: $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Координаты $x$ точек пересечения построенных графиков и будут являться решениями (корнями) исходного уравнения. Если графики не пересекаются, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Суть метода заключается в нахождении абсцисс точек пересечения графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения.

Решение уравнений вида $f(x) = g(x)$

Рассмотрим алгоритм на примере уравнения $x^3 = 4x$.

1. Введем две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y = x^3$ и $y = 4x$.
2. Построим графики этих функций в одной системе координат.
   • $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через точки $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.
   • $y = 4x$ — это прямая, проходящая через начало координат и, например, точку $(1, 4)$.
3. Найдем точки пересечения графиков. Из чертежа видно, что графики пересекаются в трех точках: $A(-2, -8)$, $O(0, 0)$ и $B(2, 8)$.
4. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения. В нашем случае это $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 2$.
5. Выполним проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение:
   • Для $x = -2$: $(-2)^3 = -8$ и $4 \cdot (-2) = -8$. Равенство $-8 = -8$ верно.
   • Для $x = 0$: $0^3 = 0$ и $4 \cdot 0 = 0$. Равенство $0 = 0$ верно.
   • Для $x = 2$: $2^3 = 8$ и $4 \cdot 2 = 8$. Равенство $8 = 8$ верно.

Ответ: Для решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ и найти абсциссы их точек пересечения. Корни уравнения $x^3 = 4x$: $-2, 0, 2$.

Решение уравнений вида $f(x) = 0$

Уравнения вида $f(x) = 0$ являются частным случаем предыдущего, где функция $g(x) = 0$. График функции $y = 0$ — это ось абсцисс ($Ox$). Следовательно, для решения такого уравнения нужно:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Найти точки его пересечения с осью $Ox$.
3. Абсциссы этих точек будут корнями уравнения.

Например, решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$.

1. Строим график функции $y = x^2 - 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(1, -4)$.
3. Найдем точки пересечения графика с осями. С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
4. Построив параболу по нескольким точкам (например, $(3, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, -3)$, $(2, -3)$), мы видим, что она пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Ответ: Для решения уравнения вида $f(x) = 0$ необходимо построить график функции $y = f(x)$ и найти абсциссы точек его пересечения с осью $Ox$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $-1, 3$.

Преимущества и недостатки метода

Преимущества:

• Наглядность: метод позволяет визуализировать решение и лучше понять поведение функций.
• Определение числа корней: по количеству точек пересечения можно сразу определить, сколько у уравнения действительных корней.
• Решение сложных уравнений: позволяет находить приближенные решения для уравнений, которые трудно или невозможно решить аналитически.

Недостатки:

• Приближенность: точные значения корней получаются редко, только если они являются целыми или легко определяемыми числами. Чаще всего метод дает лишь приблизительный результат.
• Трудоемкость: построение точных графиков, особенно для сложных функций, требует времени и аккуратности.
• Возможность пропуска корней: если корни очень близки друг к другу или лежат за пределами построенного фрагмента графика, их можно не заметить.

Ответ: Графический метод нагляден и полезен для определения количества корней и их приблизительных значений, но он неточен и трудоемок по сравнению с аналитическими методами.

2. Кусочные функции.

Определение кусочной функции

Кусочная функция (или кусочно-заданная функция) — это функция, которая определяется разными формулами (или выражениями) на разных участках (интервалах) своей области определения. Каждый такой участок называется "куском", а точки, в которых меняется формула, — "точками склейки" или "точками разрыва".

Общий вид кусочной функции можно записать так: $f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{если } x \in D_1 \\ f_2(x), & \text{если } x \in D_2 \\ ... \\ f_n(x), & \text{если } x \in D_n \end{cases}$
Здесь $f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)$ — это различные функции (например, линейные, квадратичные, тригонометрические и т.д.), а $D_1, D_2, ..., D_n$ — это непересекающиеся множества (обычно интервалы или лучи), которые в совокупности составляют область определения функции $f(x)$.

Пример и вычисление значений

Рассмотрим конкретную кусочную функцию: $g(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x < 1 \\ 3, & \text{если } x = 1 \\ -x + 4, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Чтобы найти значение функции в определенной точке, нужно сначала определить, какому из интервалов принадлежит эта точка, а затем использовать соответствующую формулу.

• Найдем $g(0)$. Поскольку $0 < 1$, мы используем первую формулу: $g(0) = 0^2 + 1 = 1$.
• Найдем $g(1)$. Поскольку $x = 1$, мы используем вторую формулу: $g(1) = 3$.
• Найдем $g(4)$. Поскольку $4 > 1$, мы используем третью формулу: $g(4) = -4 + 4 = 0$.

Построение графика кусочной функции

Для построения графика кусочной функции необходимо построить график каждой из составляющих функций, но только на её собственном интервале.

Для нашего примера с функцией $g(x)$:

1. Строим график функции $y = x^2 + 1$ для всех $x < 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$. Мы рисуем только ту её часть, которая находится левее вертикальной прямой $x=1$. В точке $x=1$ значение по этой формуле было бы $1^2+1=2$. Так как неравенство строгое ($x<1$), на графике в точке $(1, 2)$ мы ставим "выколотую" (пустую) точку.
2. Отмечаем точку для $x=1$. Согласно определению функции, $g(1) = 3$. Значит, на графике будет отдельная точка $(1, 3)$.
3. Строим график функции $y = -x + 4$ для всех $x > 1$. Это прямая линия. Мы рисуем только ту её часть, которая находится правее вертикальной прямой $x=1$. В точке $x=1$ значение по этой формуле было бы $-1+4=3$. Так как эта точка совпадает со значением функции в $x=1$ из предыдущего пункта, то наша прямая будет начинаться из точки $(1, 3)$.

Непрерывность кусочных функций

Кусочная функция может быть как непрерывной, так и разрывной. Непрерывность нарушается в точках "склейки", если "куски" графика не соединяются друг с другом.

Чтобы проверить функцию на непрерывность в точке $x=a$, нужно вычислить три значения:

1. Предел слева: $\lim_{x \to a^-} f(x)$
2. Предел справа: $\lim_{x \to a^+} f(x)$
3. Значение функции в самой точке: $f(a)$

Если все три значения существуют и равны между собой ($\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$), то функция непрерывна в точке $x=a$. В противном случае, в этой точке есть разрыв.

Проверим на непрерывность нашу функцию $g(x)$ в точке $x=1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (-x + 4) = -1 + 4 = 3$.
• Значение функции: $g(1) = 3$.

Поскольку предел слева (2) не равен пределу справа (3), функция $g(x)$ имеет разрыв в точке $x=1$. Это разрыв первого рода (скачок), так как оба односторонних предела существуют и конечны.

Ответ: Кусочная функция — это функция, заданная несколькими различными формулами, каждая из которых применяется на своем определенном участке (интервале) области определения. Для работы с такой функцией (вычисления значения, построения графика, анализа непрерывности) ключевым шагом является определение, на какой именно участок попадает интересующее значение аргумента $x$, и применение соответствующей этому участку формулы.

3. Группировка данных.

Определение и цели группировки

Группировка данных — это один из ключевых методов статистики, заключающийся в разделении совокупности данных на группы, однородные по какому-либо существенному признаку. Исходные, необработанные данные (так называемый «сырой» материал) часто представляют собой большой массив чисел, который сложен для восприятия и анализа. Группировка позволяет упорядочить эти данные, сделать их более компактными и наглядными.

Основные цели группировки данных:

• Систематизация и обобщение данных, приведение большого массива информации в упорядоченный вид.
• Выделение социально-экономических типов явлений (например, группировка предприятий по форме собственности).
• Изучение структуры совокупности и структурных сдвигов (например, распределение населения по возрастным группам).
• Выявление взаимосвязей между различными признаками (например, анализ зависимости производительности труда от уровня квалификации рабочих).
• Подготовка данных для дальнейшего анализа, расчета сводных показателей и построения графиков (гистограмм, полигонов распределения).

Виды группировок

В зависимости от поставленных задач и характера признаков выделяют несколько видов группировок:

1. Типологическая группировка. Используется для разделения качественно неоднородной совокупности на однородные группы, классы, типы. В основу такой группировки кладется качественный (атрибутивный) признак. Пример: разделение населения страны по месту жительства (городское, сельское) или отраслей экономики по секторам (первичный, вторичный, третичный).
2. Структурная группировка. Применяется для изучения внутреннего строения (структуры) однородной совокупности и распределения ее единиц по определенному варьирующему признаку. Пример: группировка студентов вуза по среднему баллу успеваемости, группировка работников предприятия по стажу работы.
3. Аналитическая группировка. Используется для выявления и анализа взаимосвязей между двумя и более признаками, один из которых рассматривается как факторный (влияющий), а другой — как результативный (испытывающий влияние). Пример: группировка фермерских хозяйств по количеству внесенных удобрений (факторный признак) для анализа урожайности зерновых (результативный признак).

Группировки также различают по признаку, лежащему в их основе: атрибутивные (по качественному признаку, например, пол, профессия) и количественные (по количественному признаку, например, возраст, доход).

Этапы группировки количественных данных

Группировка по количественному признаку, особенно если он является непрерывным или имеет много значений, требует разбиения данных на интервалы. Этот процесс включает несколько последовательных шагов:

1. Определение количества групп (k). Выбор числа групп является важным шагом, влияющим на наглядность результатов. Слишком малое число групп может скрыть важные особенности распределения, а слишком большое — излишне усложнить анализ. Часто количество групп выбирают в пределах от 5 до 15. Для более формального определения можно использовать формулу Стерджесса:
   $k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n)$
   где $n$ — объем совокупности (количество наблюдений). Результат обычно округляют до ближайшего целого числа.
2. Определение величины интервала (h). Сначала находят размах вариации $R$ — разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:
   $R = X_{max} - X_{min}$
   Затем величину интервала вычисляют по формуле:
   $h = \frac{R}{k}$
   Полученное значение $h$ рекомендуется округлять в большую сторону до удобного для расчетов числа (например, до целого числа или числа, кратного 5 или 10).
3. Определение границ интервалов. Первый интервал начинается с минимального значения $X_{min}$ (или чуть меньшего значения для удобства). Нижняя граница первого интервала — $X_{min}$. Верхняя граница — $X_{min} + h$. Нижняя граница второго интервала равна верхней границе первого, и так далее. Интервалы должны быть замкнутыми с одной стороны и открытыми с другой (например, [a, b)), чтобы каждое значение попало ровно в одну группу.
4. Распределение единиц совокупности по группам. На этом этапе подсчитывают, сколько единиц наблюдения (значений) попадает в каждый из созданных интервалов. Результатом является построение вариационного ряда распределения, который обычно представляют в виде таблицы частот.

Пример группировки

Предположим, имеются данные о результатах экзамена по математике для 25 студентов (в баллах): 75, 89, 66, 52, 94, 77, 83, 61, 79, 88, 91, 58, 69, 74, 81, 95, 71, 80, 63, 76, 85, 90, 68, 73, 84.

Выполним группировку этих данных.

1. Определяем количество групп. Объем выборки $n = 25$. Воспользуемся формулой Стерджесса:
$k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(25) \approx 1 + 3.322 \cdot 1.398 \approx 5.64$.
Округляем до ближайшего целого, получаем $k = 6$ групп. Для простоты и наглядности в данном примере можно выбрать $k=5$ групп.

2. Определяем величину интервала. Находим минимальное и максимальное значения: $X_{min} = 52$, $X_{max} = 95$.
Размах вариации: $R = 95 - 52 = 43$.
Величина интервала при $k=5$: $h = \frac{43}{5} = 8.6$. Округлим до 10 для удобства.

3. Определяем границы интервалов. Начнем с 50.
Получаем следующие интервалы: [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100).

4. Распределяем студентов по группам и составляем таблицу частот.

В результате группировки мы получили наглядное распределение студентов по успеваемости. Видно, что большинство студентов (14 из 25) получили баллы в диапазоне от 70 до 89. Эти сгруппированные данные можно легко визуализировать, например, с помощью гистограммы.

Ответ: Группировка данных — это процесс объединения исходных данных в классы или группы на основе общих признаков с целью их систематизации, выявления структуры совокупности и взаимосвязей, а также для упрощения дальнейшего анализа и визуализации. Процедура группировки количественных данных включает определение числа групп и ширины интервалов, на основе которых строится таблица частотного распределения, наглядно представляющая структуру данных.

Задайте аналитически кусочную функцию по её графику, представленному:

46.35 а) на рис. 53

$y = |x|$

б) на рис. 54

$y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \le 1 \\ 2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

в) на рис. 55

$y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le -2 \\ -x, & \text{если } x > -2 \end{cases}$

г) на рис. 56

$y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le 2 \\ x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

а) на рис. 53

График функции представляет собой объединение двух лучей, выходящих из начала координат. Это график модуля.
1. При $x \ge 0$ график является лучом, проходящим через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Это часть прямой $y=x$.
2. При $x < 0$ график является лучом, проходящим через точки $(0, 0)$ и $(-1, 1)$. Это часть прямой $y=-x$.
Объединяя эти два случая, мы получаем аналитическое выражение для кусочной функции.

Ответ: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ (или $y = |x|$).

б) на рис. 54

График функции состоит из двух линейных участков, с точкой излома при $x=1$.
1. При $x \le 1$ график представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y=kx$. Подставив координаты точки $(1, 2)$, получим $2 = k \cdot 1$, откуда $k=2$. Таким образом, на этом промежутке $y=2x$.
2. При $x > 1$ график представляет собой горизонтальный луч, все точки которого имеют ординату $y=2$.
Следовательно, функция задается следующей системой.

Ответ: $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \le 1 \\ 2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

в) на рис. 55

График функции состоит из двух линейных участков, с точкой излома при $x=-2$.
1. При $x \le -2$ график представляет собой горизонтальный луч, все точки которого имеют ординату $y=2$.
2. При $x > -2$ график представляет собой луч, проходящий через точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y=kx$. Подставив координаты точки $(-2, 2)$, получим $2 = k \cdot (-2)$, откуда $k=-1$. Таким образом, на этом промежутке $y=-x$.
Совмещая оба случая, получаем аналитическое задание функции.

Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le -2 \\ -x, & \text{если } x > -2 \end{cases}$.

г) на рис. 56

График функции состоит из двух линейных участков, с точкой излома при $x=2$.
1. При $x \le 2$ график представляет собой горизонтальный луч, все точки которого имеют ординату $y=2$.
2. При $x > 2$ график представляет собой луч, проходящий через точки $(2, 2)$ и $(4, 4)$. Уравнение прямой $y=kx+b$. Угловой коэффициент $k = \frac{4-2}{4-2} = 1$. Подставим точку $(2,2)$ в уравнение $y=1 \cdot x+b$: $2 = 2+b$, откуда $b=0$. Таким образом, на этом промежутке $y=x$.
Запишем итоговую кусочную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le 2 \\ x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.

46.36 a) На рис. 57; б) на рис. 58; в) на рис. 59; г) на рис. 60.

Рис. 57

Рис. 58

Рис. 59

Рис. 60

a) На рис. 57

На рисунке изображен график функции, состоящий из двух частей. При $x \le 0$ это ветвь параболы $y = -x^2$ с вершиной в начале координат. При $x > 0$ это луч прямой $y = -x$, выходящий из начала координат. Функция непрерывна на всей области определения.

Область определения функции — это множество всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции — это все числа от $-\infty$ до $0$ включительно: $E(f) = (-\infty; 0]$.

Функция обращается в ноль при $x=0$. Это единственный нуль функции.

Промежутки знакопостоянства: функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) при всех $x$ из области определения, кроме $x=0$, то есть при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Положительных значений функция не принимает.

Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

В точке $x=0$ функция достигает своего наибольшего значения (максимума): $y_{max} = y(0) = 0$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $(-\infty; 0]$; нуль функции: $x=0$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; возрастает на $(-\infty; 0]$, убывает на $[0; +\infty)$; максимум функции $y_{max}=0$.

б) На рис. 58

График функции состоит из двух частей. На промежутке $(-1; 2]$ это часть параболы $y = x^2$. На промежутке $(2; +\infty)$ это горизонтальная прямая $y=4$. В точке $x=-1$ функция не определена (выколотая точка). В точке $x=2$ функция непрерывна.

Область определения функции: $D(f) = (-1; +\infty)$.

Область значений функции: минимальное значение равно $0$, максимальное равно $4$. $E(f) = [0; 4]$.

Нуль функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y>0$) при $x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$. Отрицательных значений нет.

Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-1; 0]$, возрастает на промежутке $[0; 2]$ и постоянна на промежутке $[2; +\infty)$.

В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения (минимума): $y_{min} = y(0) = 0$.

Ответ: Область определения: $(-1; +\infty)$; область значений: $[0; 4]$; нуль функции: $x=0$; $y>0$ при $x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$; убывает на $(-1; 0]$, возрастает на $[0; 2]$, постоянна на $[2; +\infty)$; минимум функции $y_{min}=0$.

в) На рис. 59

График функции состоит из двух несвязанных частей. На отрезке $[-4; -1]$ это горизонтальная прямая $y = -1$. На отрезке $[0; 2]$ это часть параболы $y = -x^2$. Между $x=-1$ и $x=0$ функция не определена.

Область определения функции является объединением двух отрезков: $D(f) = [-4; -1] \cup [0; 2]$.

Область значений функции: на первом отрезке значение постоянно и равно $-1$, на втором отрезке значения меняются от $-4$ до $0$. Таким образом, $E(f) = [-4; 0]$.

Нуль функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) при $x \in [-4; -1] \cup (0; 2]$. Положительных значений нет.

Промежутки монотонности: функция постоянна на отрезке $[-4; -1]$ и убывает на отрезке $[0; 2]$.

Функция имеет наибольшее значение (максимум) $y_{max} = y(0) = 0$ и наименьшее значение (минимум) $y_{min} = y(2) = -4$.

Ответ: Область определения: $[-4; -1] \cup [0; 2]$; область значений: $[-4; 0]$; нуль функции: $x=0$; $y < 0$ при $x \in [-4; -1] \cup (0; 2]$; постоянна на $[-4; -1]$, убывает на $[0; 2]$; $y_{max}=0$, $y_{min}=-4$.

г) На рис. 60

График функции состоит из двух частей, непрерывно соединенных в точке $(1; 1)$. На полуинтервале $(-2; 1]$ это часть параболы $y = x^2$. На интервале $(1; 5)$ это отрезок прямой $y=x$. В точках $x=-2$ и $x=5$ функция не определена (выколотые точки).

Область определения функции: $D(f) = (-2; 5)$.

Область значений функции: наименьшее значение равно $0$. Значения функции стремятся к $5$ при $x \to 5$, но не достигают его. $E(f) = [0; 5)$.

Нуль функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y>0$) при $x \in (-2; 0) \cup (0; 5)$. Отрицательных значений нет.

Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-2; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; 5)$.

В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения (минимума): $y_{min} = y(0) = 0$. Наибольшего значения функция не достигает.

Ответ: Область определения: $(-2; 5)$; область значений: $[0; 5)$; нуль функции: $x=0$; $y>0$ при $x \in (-2; 0) \cup (0; 5)$; убывает на $(-2; 0]$, возрастает на $[0; 5)$; минимум функции $y_{min}=0$.

46.37 а) На рис. 61;

б) на рис. 62;

в) на рис. 63;

г) на рис. 64.

Рис. 61

Рис. 62

Рис. 63

Рис. 64

График данной функции состоит из трех участков. Для каждого участка определим соответствующую формулу.

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ график представляет собой левую ветвь параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Общее уравнение такой параболы $y = ax^2$. График проходит через точку $(-1, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $1 = a \cdot (-1)^2$, откуда $a=1$. Следовательно, на этом участке функция задается формулой $y = x^2$.

2. На промежутке $[0, 2]$ график является отрезком прямой, соединяющим точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$. Найдем уравнение этой прямой. Угловой коэффициент $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2-0}{2-0} = 1$. Так как прямая проходит через начало координат, ее уравнение $y = kx$, то есть $y=x$.

3. На промежутке $[2, +\infty)$ график представляет собой горизонтальную прямую, проходящую через точку $(2, 2)$. Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — константа. В данном случае $c=2$, поэтому уравнение $y=2$.

Объединяя все три части, получаем аналитическое выражение для функции:

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ x, & \text{если } 0 < x \le 2 \\ 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух участков и определен на отрезке $[-4, 2]$.

1. На отрезке $[-4, -2]$ график — это горизонтальный отрезок прямой. Все точки на этом отрезке имеют ординату $-2$. Следовательно, уравнение функции на этом участке $y=-2$. Точки на концах отрезка $(-4, -2)$ и $(-2, -2)$ закрашены, поэтому они включаются в область определения.

2. На полуинтервале $(-2, 2]$ график является отрезком прямой, соединяющим точки $(-2, -2)$ и $(2, 4)$. Найдем уравнение этой прямой $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k = \frac{4 - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Подставим координаты точки $(2, 4)$ и значение $k$ в уравнение прямой: $4 = \frac{3}{2} \cdot 2 + b$, откуда $4 = 3 + b$ и $b=1$. Итак, уравнение прямой $y = \frac{3}{2}x + 1$.

Составим итоговую формулу для функции:

Ответ: $y = \begin{cases} -2, & \text{если } -4 \le x \le -2 \\ \frac{3}{2}x + 1, & \text{если } -2 < x \le 2 \end{cases}$

График состоит из трех участков и определен на луче $[-4, +\infty)$.

1. На отрезке $[-4, 0]$ график — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-4, 4)$ и $(0, 0)$. Угловой коэффициент $k = \frac{0 - 4}{0 - (-4)} = \frac{-4}{4} = -1$. Так как прямая проходит через начало координат, ее уравнение $y=-x$.

2. На отрезке $[0, 1]$ график — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(1, 3)$. Угловой коэффициент $k = \frac{3 - 0}{1 - 0} = 3$. Так как прямая проходит через начало координат, ее уравнение $y=3x$.

3. На луче $[1, +\infty)$ график является горизонтальной прямой, проходящей через точку $(1, 3)$. Уравнение этой прямой $y=3$.

Объединив формулы для всех участков, получаем:

Ответ: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } -4 \le x \le 0 \\ 3x, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ 3, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

График состоит из трех участков и определен на интервале $(-5, 2)$.

1. На полуинтервале $(-5, -1]$ график — это горизонтальный отрезок прямой с ординатой $3$. Точка при $x=-5$ выколота, а при $x=-1$ закрашена. Уравнение функции на этом участке $y=3$.

2. На полуинтервале $(-1, 0]$ график — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 3)$ и $(0, 0)$. Угловой коэффициент $k = \frac{0 - 3}{0 - (-1)} = -3$. Так как прямая проходит через начало координат, ее уравнение $y=-3x$.

3. На полуинтервале $[0, 2)$ график является частью параболы с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Уравнение параболы $y = ax^2$. Она проходит через точку $(1, 1)$, подставим ее координаты: $1 = a \cdot 1^2$, откуда $a=1$. Уравнение $y = x^2$. Точка при $x=2$ выколота.

Итоговая формула для функции:

Ответ: $y = \begin{cases} 3, & \text{если } -5 < x \le -1 \\ -3x, & \text{если } -1 < x \le 0 \\ x^2, & \text{если } 0 < x < 2 \end{cases}$

46.38 а) На рис. 65;

б) на рис. 66;

в) на рис. 67;

г) на рис. 68.

Рис. 65

Рис. 66

Рис. 67

Рис. 68

а)
График функции, изображенный на рисунке 65, состоит из двух частей, соединенных в точке $(0,0)$.
1. При $x \le 0$ график представляет собой ветвь параболы с вершиной в точке $(0,0)$, проходящую через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 4)$. Это соответствует функции $y = x^2$.
2. При $x > 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0,0)$ и проходящий через точку $(4, 2)$. Уравнение прямой, проходящей через точки $(0,0)$ и $(4,2)$, имеет вид $y = kx$. Найдем коэффициент наклона $k$: $k = \frac{2-0}{4-0} = \frac{1}{2}$. Таким образом, для $x > 0$ функция задается формулой $y = \frac{1}{2}x$.
Объединяя обе части, получаем кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б)
График функции, изображенный на рисунке 66, является кусочной функцией, определенной на промежутке $(-4, +\infty)$ и имеющей разрыв в точке $x=1$. Рассмотрим каждый участок отдельно.
1. На промежутке $(-4, 0]$ график представляет собой часть параболы с вершиной в $(0,0)$. Он проходит через точку $(-2, 1)$. Подставим координаты в уравнение $y=ax^2$: $1 = a(-2)^2$, откуда $a = \frac{1}{4}$. Итак, на этом участке функция задается формулой $y = \frac{1}{4}x^2$. В точке $x=-4$ находится выколотая точка (открытый круг), значение функции в ней $y = \frac{1}{4}(-4)^2 = 4$, что соответствует графику.
2. На промежутке $(0, 1)$ график также является частью параболы, выходящей из точки $(0,0)$ и заканчивающейся выколотой точкой в $(1,1)$. Это соответствует функции $y=x^2$.
3. При $x \ge 1$ график начинается с закрашенной точки $(1,2)$ и проходит через точку $(2,5)$. Это соответствует параболе, сдвинутой вверх. Проверим формулу $y = x^2 + 1$. При $x=1$, $y=1^2+1=2$. При $x=2$, $y=2^2+1=5$. Формула верна.
Объединяя все части, получаем:
$y = \begin{cases} \frac{1}{4}x^2, & \text{если } x \in (-4, 0] \\ x^2, & \text{если } x \in (0, 1) \\ x^2+1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} \frac{1}{4}x^2, & \text{если } x \in (-4, 0] \\ x^2, & \text{если } x \in (0, 1) \\ x^2+1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

в)
График функции, изображенный на рисунке 67, имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0,0)$, что характерно для функции модуля $y = a|x|$.
1. Левая ветвь (при $x < 0$) является прямой, проходящей через точки $(0,0)$ и $(-1,2)$. Уравнение этой прямой $y=kx$. Найдем $k$: $2 = k(-1)$, откуда $k=-2$. Таким образом, при $x \le 0$ имеем $y = -2x$.
2. Правая ветвь (при $x > 0$) является прямой, проходящей через точки $(0,0)$, $(1,2)$ и $(2,4)$. Уравнение этой прямой $y=kx$. Найдем $k$: $2=k(1)$, откуда $k=2$. Таким образом, при $x > 0$ имеем $y = 2x$.
Объединяя обе ветви, получаем функцию $y = 2|x|$.
Выколотая точка $(1,3)$ на графике, по-видимому, является опечаткой, так как она не соответствует общей структуре графика, где при $x=1$ значение функции должно быть $y=2|1|=2$.
Ответ: $y = 2|x|$

г)
График функции, изображенный на рисунке 68, представляет собой параболу, определенную на открытом интервале $x \in (-1, 2)$.
1. На концах интервала находятся выколотые точки: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.
2. График проходит через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.
Будем искать уравнение параболы в виде $y=ax^2+bx+c$.
Так как график проходит через $(0,-1)$, то $c=-1$. Уравнение принимает вид $y=ax^2+bx-1$.
Используем координаты граничных точек, чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$.
Для точки $(-1, 1)$: $a(-1)^2 + b(-1) - 1 = 1 \implies a - b = 2$.
Для точки $(2, 4)$: $a(2)^2 + b(2) - 1 = 4 \implies 4a + 2b = 5$.
Получили систему уравнений:
$\begin{cases} a - b = 2 \\ 4a + 2b = 5 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $a = b+2$ и подставим во второе:
$4(b+2) + 2b = 5$
$4b + 8 + 2b = 5$
$6b = -3 \implies b = -\frac{1}{2}$.
Тогда $a = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.
Таким образом, функция задается формулой $y = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 1$ на интервале $(-1, 2)$.
Проверим, проходит ли график через точку $(1,0)$: $y(1) = \frac{3}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(1) - 1 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка принадлежит графику.
Ответ: $y = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 1$, где $x \in (-1, 2)$