Страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

47.1 Заполните таблицу значений функции $y = x^2$:

а) Сколько значений лежит в пределах от 25 до 50?

б) Заполните сгруппированную таблицу распределения значений функции $y = x^2$:

в) Заполните сгруппированную таблицу распределения частот значений функции $y = x^2$:

г) Постройте круговую диаграмму распределения частот.

Сначала заполним таблицу значений для функции $y = x^2$ при целых значениях $x$ от 0 до 9.

Получаем следующий ряд значений функции $y$: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Всего 10 значений.

а) Сколько значений лежит в пределах от 25 до 50?

Найдём в полученном ряду значения $y$, которые удовлетворяют условию $25 \le y \le 50$. Такими значениями являются: 25, 36, 49. Всего 3 значения.

Ответ: 3 значения.

б) Заполните сгруппированную таблицу распределения значений функции $y = x^2$:

Для группировки данных будем считать, что каждый промежуток "От A до B" включает левую границу и не включает правую (интервал вида $[A, B)$), за исключением последнего промежутка, который для полноты включает и правую границу. Распределим значения по промежуткам:

• Промежуток "От 0 до 25" ($[0, 25)$): значения 0, 1, 4, 9, 16. Число значений: 5.
• Промежуток "От 25 до 50" ($[25, 50)$): значения 25, 36, 49. Число значений: 3.
• Промежуток "От 50 до 75" ($[50, 75)$): значение 64. Число значений: 1.
• Промежуток "От 75 до 100" ($[75, 100]$): значение 81. Число значений: 1.

Заполненная таблица:

Ответ: таблица заполнена числами 5, 3, 1, 1.

в) Заполните сгруппированную таблицу распределения частот значений функции $y = x^2$, %:

Частота (в процентах) вычисляется по формуле: $(\text{число значений в промежутке} / \text{общее число значений}) \times 100\%$. Общее число значений равно 10.

• Промежуток "От 0 до 25": $(5 / 10) \times 100\% = 50\%$.
• Промежуток "От 25 до 50": $(3 / 10) \times 100\% = 30\%$.
• Промежуток "От 50 до 75": $(1 / 10) \times 100\% = 10\%$.
• Промежуток "От 75 до 100": $(1 / 10) \times 100\% = 10\%$.

Заполненная таблица:

Ответ: таблица заполнена числами 50, 30, 10, 10.

г) Постройте круговую диаграмму распределения частот.

Для построения круговой диаграммы необходимо вычислить центральные углы секторов, пропорциональные частотам. Полный круг составляет $360^\circ$.

• Сектор "От 0 до 25" (50%): $360^\circ \times 0.50 = 180^\circ$.
• Сектор "От 25 до 50" (30%): $360^\circ \times 0.30 = 108^\circ$.
• Сектор "От 50 до 75" (10%): $360^\circ \times 0.10 = 36^\circ$.
• Сектор "От 75 до 100" (10%): $360^\circ \times 0.10 = 36^\circ$.

Ниже представлена круговая диаграмма, построенная на основе этих данных, с соответствующей легендой.

Ответ: круговая диаграмма построена с секторами $180^\circ$ (50%), $108^\circ$ (30%), $36^\circ$ (10%) и $36^\circ$ (10%), как показано на рисунке выше.

47.2 а) Найдите количество всех целых неотрицательных чисел, квадраты которых меньше 200.

б) Найдите количество всех натуральных чисел, квадраты которых меньше 400, но больше 200.

в) Используя таблицу квадратов целых чисел, заполните таблицу распределения значений функции $y = x^2, x = 0, 1, 2, ..., 28, 29$.

г) Постройте таблицу распределения процентных частот.

а)

Требуется найти количество целых неотрицательных чисел $x$ (то есть $x \ge 0$ и $x$ — целое), для которых выполняется неравенство $x^2 < 200$.

Решим это неравенство: $x^2 < 200$ $x < \sqrt{200}$

Найдем ближайшие квадраты целых чисел к 200: $14^2 = 196$ и $15^2 = 225$. Следовательно, $\sqrt{200}$ находится между 14 и 15 ($\sqrt{200} \approx 14.14$).

Таким образом, неравенство принимает вид $x < 14.14$. Целые неотрицательные числа, удовлетворяющие этому условию, это: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Подсчитаем их количество: от 0 до 14 включительно, что составляет $14 - 0 + 1 = 15$ чисел.

Ответ: 15

б)

Требуется найти количество натуральных чисел $x$ (то есть $x \in \{1, 2, 3, ...\}$), для которых выполняется двойное неравенство $200 < x^2 < 400$.

Извлечем квадратный корень из всех частей неравенства: $\sqrt{200} < x < \sqrt{400}$

Как мы выяснили в пункте а), $\sqrt{200} \approx 14.14$. Мы знаем, что $\sqrt{400} = 20$.

Таким образом, неравенство для $x$ имеет вид $14.14 < x < 20$. Натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию, это: 15, 16, 17, 18, 19.

Их количество равно 5.

Ответ: 5

в)

Нужно найти, сколько значений функции $y=x^2$ для $x \in \{0, 1, 2, \dots, 29\}$ попадает в каждый из указанных промежутков. Всего у нас 30 значений $x$. Будем считать, что промежутки вида "От A до B" включают A, но не включают B, то есть $[A, B)$.

• Промежуток [0, 200): $0 \le x^2 < 200 \implies 0 \le x < \sqrt{200} \approx 14.14$. Целые $x$ из нашего набора: 0, 1, ..., 14. Количество: 15.
• Промежуток [200, 400): $200 \le x^2 < 400 \implies \sqrt{200} \le x < \sqrt{400} \implies 14.14 \le x < 20$. Целые $x$: 15, 16, 17, 18, 19. Количество: 5.
• Промежуток [400, 600): $400 \le x^2 < 600 \implies \sqrt{400} \le x < \sqrt{600} \implies 20 \le x < 24.49$. Целые $x$: 20, 21, 22, 23, 24. Количество: 5.
• Промежуток [600, 800): $600 \le x^2 < 800 \implies \sqrt{600} \le x < \sqrt{800} \implies 24.49 \le x < 28.28$. Целые $x$: 25, 26, 27, 28. Количество: 4.
• Промежуток [800, 1000): $800 \le x^2 < 1000 \implies \sqrt{800} \le x < \sqrt{1000} \implies 28.28 \le x < 31.62$. Целые $x$ из нашего набора: 29. Количество: 1.

Проверка: $15 + 5 + 5 + 4 + 1 = 30$. Общее количество совпадает.

Ответ:

г)

Для построения таблицы процентных частот используем данные из пункта в). Общее число наблюдений $N=30$. Процентная частота для каждого промежутка вычисляется по формуле: $(\text{частота} / N) \times 100\%$.

• Промежуток [0, 200): $(15 / 30) \times 100\% = 50\%$.
• Промежуток [200, 400): $(5 / 30) \times 100\% = (1/6) \times 100\% \approx 16.7\%$.
• Промежуток [400, 600): $(5 / 30) \times 100\% \approx 16.7\%$.
• Промежуток [600, 800): $(4 / 30) \times 100\% = (2/15) \times 100\% \approx 13.3\%$.
• Промежуток [800, 1000): $(1 / 30) \times 100\% \approx 3.3\%$.

Проверка: $50\% + 16.7\% + 16.7\% + 13.3\% + 3.3\% = 100\%$.

Ответ:

47.3 а) Заполните таблицу распределения значений функции $y = x^2$, $x = 0, 1, 2, ..., 28, 29$:

б) Переведите эту таблицу в таблицу распределения процентных частот.

в) Постройте круговую диаграмму распределения процентных частот.

г) Разбейте промежуток от 0 до 1000 на три промежутка так, чтобы каждому из них принадлежало по 10 значений этой функции.

а)

Для функции $y = x^2$ при $x$, принимающем целые значения от 0 до 29 (всего 30 значений), необходимо подсчитать, сколько значений функции попадает в каждый из указанных промежутков.

• Промежуток от 0 до 300:
  Ищем количество целых $x$ таких, что $0 \le x^2 < 300$. Это неравенство эквивалентно $0 \le x < \sqrt{300}$. Поскольку $\sqrt{300} \approx 17.32$, подходящие значения $x$: $0, 1, 2, ..., 17$. Количество таких значений: $17 - 0 + 1 = 18$.
• Промежуток от 300 до 600:
  Ищем количество целых $x$ таких, что $300 \le x^2 < 600$. Это эквивалентно $\sqrt{300} \le x < \sqrt{600}$, или $17.32 \le x < 24.49$. Подходящие значения $x$: $18, 19, ..., 24$. Количество таких значений: $24 - 18 + 1 = 7$.
• Промежуток от 600 до 1000:
  Ищем количество целых $x$ таких, что $600 \le x^2 < 1000$. Это эквивалентно $\sqrt{600} \le x < \sqrt{1000}$, или $24.49 \le x < 31.62$. Учитывая, что максимальное значение $x=29$, подходят значения $x$: $25, 26, ..., 29$. Количество таких значений: $29 - 25 + 1 = 5$.

Проверка общего количества: $18 + 7 + 5 = 30$, что соответствует общему числу значений $x$.

Ответ:

б)

Для перевода таблицы в таблицу процентных частот, найдем долю каждой группы от общего числа значений (30) и выразим ее в процентах по формуле: $(\text{частота} / \text{общее число}) \times 100\%$.

• Промежуток от 0 до 300: $ \frac{18}{30} \times 100\% = 0.6 \times 100\% = 60\%$.
• Промежуток от 300 до 600: $ \frac{7}{30} \times 100\% = \frac{70}{3}\% = 23\frac{1}{3}\%$.
• Промежуток от 600 до 1000: $ \frac{5}{30} \times 100\% = \frac{1}{6} \times 100\% = \frac{50}{3}\% = 16\frac{2}{3}\%$.

Ответ:

в)

Для построения круговой диаграммы рассчитаем углы секторов, соответствующие каждой процентной частоте. Полный круг равен $360°$.

• От 0 до 300 (60%): Угол = $360° \times 0.6 = 216°$.
• От 300 до 600 ($23\frac{1}{3}\%$): Угол = $360° \times \frac{7}{30} = 84°$.
• От 600 до 1000 ($16\frac{2}{3}\%$): Угол = $360° \times \frac{5}{30} = 60°$.

Проверка суммы углов: $216° + 84° + 60° = 360°$.

Ответ:

г)

Необходимо разбить 30 значений функции $y = x^2$ (для $x = 0, ..., 29$) на три равные группы по 10 значений в каждой и определить соответствующие промежутки для $y$. Значения $y$ упорядочены по возрастанию, так как $x$ упорядочен.

• Первые 10 значений:
  Соответствуют $x = 0, 1, ..., 9$.
  Значения $y$ лежат в диапазоне от $y_{min} = 0^2 = 0$ до $y_{max} = 9^2 = 81$.
  Следующее значение при $x=10$ равно $10^2 = 100$. Таким образом, подходящий промежуток — от 0 до 100.
• Следующие 10 значений:
  Соответствуют $x = 10, 11, ..., 19$.
  Значения $y$ лежат в диапазоне от $y_{min} = 10^2 = 100$ до $y_{max} = 19^2 = 361$.
  Следующее значение при $x=20$ равно $20^2 = 400$. Таким образом, подходящий промежуток — от 100 до 400.
• Последние 10 значений:
  Соответствуют $x = 20, 21, ..., 29$.
  Значения $y$ лежат в диапазоне от $y_{min} = 20^2 = 400$ до $y_{max} = 29^2 = 841$.
  Поскольку мы разбиваем общий промежуток от 0 до 1000, этот промежуток можно определить как от 400 до 1000.

Ответ: Искомые промежутки: от 0 до 100, от 100 до 400 и от 400 до 1000.