Номер 47.2, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

47.2 а) Найдите количество всех целых неотрицательных чисел, квадраты которых меньше 200.

б) Найдите количество всех натуральных чисел, квадраты которых меньше 400, но больше 200.

в) Используя таблицу квадратов целых чисел, заполните таблицу распределения значений функции $y = x^2, x = 0, 1, 2, ..., 28, 29$.

г) Постройте таблицу распределения процентных частот.

а)

Требуется найти количество целых неотрицательных чисел $x$ (то есть $x \ge 0$ и $x$ — целое), для которых выполняется неравенство $x^2 < 200$.

Решим это неравенство: $x^2 < 200$ $x < \sqrt{200}$

Найдем ближайшие квадраты целых чисел к 200: $14^2 = 196$ и $15^2 = 225$. Следовательно, $\sqrt{200}$ находится между 14 и 15 ($\sqrt{200} \approx 14.14$).

Таким образом, неравенство принимает вид $x < 14.14$. Целые неотрицательные числа, удовлетворяющие этому условию, это: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Подсчитаем их количество: от 0 до 14 включительно, что составляет $14 - 0 + 1 = 15$ чисел.

Ответ: 15

б)

Требуется найти количество натуральных чисел $x$ (то есть $x \in \{1, 2, 3, ...\}$), для которых выполняется двойное неравенство $200 < x^2 < 400$.

Извлечем квадратный корень из всех частей неравенства: $\sqrt{200} < x < \sqrt{400}$

Как мы выяснили в пункте а), $\sqrt{200} \approx 14.14$. Мы знаем, что $\sqrt{400} = 20$.

Таким образом, неравенство для $x$ имеет вид $14.14 < x < 20$. Натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию, это: 15, 16, 17, 18, 19.

Их количество равно 5.

Ответ: 5

в)

Нужно найти, сколько значений функции $y=x^2$ для $x \in \{0, 1, 2, \dots, 29\}$ попадает в каждый из указанных промежутков. Всего у нас 30 значений $x$. Будем считать, что промежутки вида "От A до B" включают A, но не включают B, то есть $[A, B)$.

• Промежуток [0, 200): $0 \le x^2 < 200 \implies 0 \le x < \sqrt{200} \approx 14.14$. Целые $x$ из нашего набора: 0, 1, ..., 14. Количество: 15.
• Промежуток [200, 400): $200 \le x^2 < 400 \implies \sqrt{200} \le x < \sqrt{400} \implies 14.14 \le x < 20$. Целые $x$: 15, 16, 17, 18, 19. Количество: 5.
• Промежуток [400, 600): $400 \le x^2 < 600 \implies \sqrt{400} \le x < \sqrt{600} \implies 20 \le x < 24.49$. Целые $x$: 20, 21, 22, 23, 24. Количество: 5.
• Промежуток [600, 800): $600 \le x^2 < 800 \implies \sqrt{600} \le x < \sqrt{800} \implies 24.49 \le x < 28.28$. Целые $x$: 25, 26, 27, 28. Количество: 4.
• Промежуток [800, 1000): $800 \le x^2 < 1000 \implies \sqrt{800} \le x < \sqrt{1000} \implies 28.28 \le x < 31.62$. Целые $x$ из нашего набора: 29. Количество: 1.

Проверка: $15 + 5 + 5 + 4 + 1 = 30$. Общее количество совпадает.

Ответ:

г)

Для построения таблицы процентных частот используем данные из пункта в). Общее число наблюдений $N=30$. Процентная частота для каждого промежутка вычисляется по формуле: $(\text{частота} / N) \times 100\%$.

• Промежуток [0, 200): $(15 / 30) \times 100\% = 50\%$.
• Промежуток [200, 400): $(5 / 30) \times 100\% = (1/6) \times 100\% \approx 16.7\%$.
• Промежуток [400, 600): $(5 / 30) \times 100\% \approx 16.7\%$.
• Промежуток [600, 800): $(4 / 30) \times 100\% = (2/15) \times 100\% \approx 13.3\%$.
• Промежуток [800, 1000): $(1 / 30) \times 100\% \approx 3.3\%$.

Проверка: $50\% + 16.7\% + 16.7\% + 13.3\% + 3.3\% = 100\%$.

Ответ: