Номер 47.8, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

47.8 Пусть $f(x) = \begin{cases} *, \text{ если } x \le 0, \\ \blacksquare, \text{ если } x > 0, \end{cases}$ а вместо символов * и $\blacksquare$ можно поставить либо $x^2$, либо $-x^2$.

а) Сколько разных функций $y = f(x)$ может быть задано таким образом?

б) Изобразите графики функций $y = f(x)$.

в) На графиках скольких функций $y = f(x)$ есть точки, расположенные ниже оси абсцисс?

г) Графики скольких функций $y = f(x)$ симметричны относительно начала координат?

а) Условие задачи определяет кусочную функцию $f(x) = \begin{cases} * & \text{если } x \le 0 \\ \blacksquare & \text{если } x > 0 \end{cases}$.
Для определения функции на промежутке $x \le 0$ (вместо символа *) есть два варианта: $x^2$ или $-x^2$.
Аналогично, для определения функции на промежутке $x > 0$ (вместо символа ▪) также есть два варианта: $x^2$ или $-x^2$.
Общее количество различных функций равно произведению количества вариантов для каждой части. Таким образом, можно задать $2 \times 2 = 4$ различные функции.
Ответ: 4.

б) Четыре возможные функции и их графики:

1. $f_1(x) = \begin{cases} x^2 & \text{если } x \le 0 \\ x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$, что равносильно $f_1(x) = x^2$.
График: стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

2. $f_2(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{если } x \le 0 \\ -x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$, что равносильно $f_2(x) = -x^2$.
График: стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вниз.

3. $f_3(x) = \begin{cases} x^2 & \text{если } x \le 0 \\ -x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$.
График: для $x \le 0$ — это левая ветвь параболы $y=x^2$, расположенная во второй координатной четверти. Для $x > 0$ — это правая ветвь параболы $y=-x^2$, расположенная в четвертой координатной четверти. Обе части соединяются в точке (0, 0).

4. $f_4(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{если } x \le 0 \\ x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$.
График: для $x \le 0$ — это левая ветвь параболы $y=-x^2$, расположенная в третьей координатной четверти. Для $x > 0$ — это правая ветвь параболы $y=x^2$, расположенная в первой координатной четверти. Обе части соединяются в точке (0, 0).

Ответ: Графики четырех функций описаны выше.

в) Точки графика расположены ниже оси абсцисс, если $f(x) < 0$ для некоторых значений $x$.
Рассмотрим выражения, которые могут определять функцию: $x^2$ и $-x^2$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$).
Выражение $-x^2$ всегда неположительно ($-x^2 \le 0$), и оно строго меньше нуля для всех $x \ne 0$.
Следовательно, на графике функции будут точки ниже оси абсцисс, если в ее определении хотя бы на одном из промежутков используется формула $-x^2$.
1. $f_1(x) = x^2$: нет точек ниже оси абсцисс, так как $x^2 \ge 0$.
2. $f_2(x) = -x^2$: есть точки ниже оси абсцисс (для всех $x \ne 0$).
3. $f_3(x)$: есть точки ниже оси абсцисс (для всех $x > 0$, где $f(x) = -x^2$).
4. $f_4(x)$: есть точки ниже оси абсцисс (для всех $x < 0$, где $f(x) = -x^2$).
Таким образом, у трех функций есть точки, расположенные ниже оси абсцисс.
Ответ: 3.

г) График функции симметричен относительно начала координат, если функция является нечетной, то есть удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения.
1. $f_1(x) = x^2$: это четная функция, так как $f_1(-x) = (-x)^2 = x^2 = f_1(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат.
2. $f_2(x) = -x^2$: это также четная функция, так как $f_2(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = f_2(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат.
3. $f_3(x) = \begin{cases} x^2 & \text{если } x \le 0 \\ -x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$. Проверим на нечетность. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Имеем: $f_3(x) = -x^2$ и $f_3(-x) = (-x)^2 = x^2$. Сравниваем $f_3(-x)$ и $-f_3(x) = -(-x^2) = x^2$. Так как $f_3(-x) = -f_3(x)$, функция нечетная.
4. $f_4(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{если } x \le 0 \\ x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$. Проверим на нечетность. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Имеем: $f_4(x) = x^2$ и $f_4(-x) = -(-x)^2 = -x^2$. Сравниваем $f_4(-x)$ и $-f_4(x) = -(x^2) = -x^2$. Так как $f_4(-x) = -f_4(x)$, функция нечетная.
Следовательно, графики двух функций ($f_3$ и $f_4$) симметричны относительно начала координат.
Ответ: 2.