Номер 47.7, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

47.7 Числитель дроби произвольно выбирают из многочленов $a^2 - 1$, $a^2 + a$, $a^3 - a$. Знаменатель произвольно выбирают из многочленов $a - 1$, $a + 1$.

а) Сколько всего вариантов составления дроби существует?

б) Выпишите все дроби с числителем, равным $a^3 - a$.

в) Какие из полученных дробей являются несократимыми?

г) В скольких случаях после сокращения получится многочлен второй степени?

а) Для выбора числителя дроби есть 3 варианта многочленов: $a^2 - 1$, $a^2 + a$, $a^3 - a$. Для выбора знаменателя есть 2 варианта многочленов: $a - 1$, $a + 1$. Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число вариантов составления дроби равно произведению числа вариантов для числителя и числа вариантов для знаменателя:
$3 \cdot 2 = 6$
Ответ: 6.

б) Если числитель равен $a^3 - a$, а знаменатель выбирается из многочленов $a - 1$ и $a + 1$, то можно составить следующие две дроби:
$\frac{a^3 - a}{a - 1}$ и $\frac{a^3 - a}{a + 1}$.
Ответ: $\frac{a^3 - a}{a - 1}$; $\frac{a^3 - a}{a + 1}$.

в) Дробь является несократимой, если ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей (кроме постоянных). Для проверки разложим все возможные числители на множители:
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
$a^2 + a = a(a + 1)$
$a^3 - a = a(a^2 - 1) = a(a - 1)(a + 1)$
Знаменатели $a - 1$ и $a + 1$ являются простыми многочленами.
Теперь рассмотрим все 6 возможных дробей и проверим их на сократимость:
1. $\frac{a^2 - 1}{a - 1} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$ - сократима.
2. $\frac{a^2 - 1}{a + 1} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1}$ - сократима.
3. $\frac{a^2 + a}{a - 1} = \frac{a(a + 1)}{a - 1}$ - несократима, так как у числителя и знаменателя нет общих множителей.
4. $\frac{a^2 + a}{a + 1} = \frac{a(a + 1)}{a + 1}$ - сократима.
5. $\frac{a^3 - a}{a - 1} = \frac{a(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$ - сократима.
6. $\frac{a^3 - a}{a + 1} = \frac{a(a - 1)(a + 1)}{a + 1}$ - сократима.
Таким образом, только одна дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{a^2 + a}{a - 1}$.

г) Чтобы в результате сокращения дроби получился многочлен, знаменатель должен полностью сократиться. Чтобы этот многочлен был второй степени, степень результирующего выражения должна быть равна 2. Проверим все 6 дробей, используя разложения из предыдущего пункта:
1. $\frac{a^2 - 1}{a - 1} = a + 1$ (многочлен первой степени).
2. $\frac{a^2 - 1}{a + 1} = a - 1$ (многочлен первой степени).
3. $\frac{a^2 + a}{a - 1}$ (несократимая дробь, не является многочленом).
4. $\frac{a^2 + a}{a + 1} = a$ (многочлен первой степени).
5. $\frac{a^3 - a}{a - 1} = \frac{a(a - 1)(a + 1)}{a - 1} = a(a + 1) = a^2 + a$ (многочлен второй степени).
6. $\frac{a^3 - a}{a + 1} = \frac{a(a - 1)(a + 1)}{a + 1} = a(a - 1) = a^2 - a$ (многочлен второй степени).
Следовательно, в двух случаях после сокращения получается многочлен второй степени.
Ответ: 2.