Номер 46.48, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.48 Решите графически уравнение:

а) $f(x) = -1$;

б) $f(x) = -4$;

в) $f(x) = 2$;

г) $f(x) = 0$,

где $f(x) = \begin{cases} -x^2, \text{ если } -2 \le x \le 1; \\ 3x - 7, \text{ если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

Для решения уравнений графически, сначала построим график кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1; \\ 3x - 7, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

График состоит из двух частей. Первая часть — это участок параболы $y = -x^2$ на отрезке $[-2, 1]$. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Значения на концах отрезка: $f(-2) = -(-2)^2 = -4$ и $f(1) = -(1)^2 = -1$. Вторая часть — это отрезок прямой $y = 3x - 7$ на полуинтервале $(1, 3]$. Найдём значения на концах: при $x$, стремящемся к 1 справа, $y$ стремится к $3(1) - 7 = -4$, поэтому точка $(1, -4)$ является выколотой. При $x=3$, $y = 3(3) - 7 = 2$, точка $(3, 2)$ принадлежит графику.

Решение каждого уравнения $f(x) = k$ сводится к нахождению абсцисс (координат $x$) точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = k$.

а) $f(x) = -1$

Проведём горизонтальную прямую $y = -1$ и найдём её точки пересечения с графиком $f(x)$.
1. На интервале $[-2, 1]$ решаем уравнение $-x^2 = -1$. Получаем $x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Оба значения входят в данный интервал.
2. На интервале $(1, 3]$ решаем уравнение $3x - 7 = -1$. Получаем $3x = 6$, откуда $x_3 = 2$. Это значение входит в данный интервал.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x = -1, x = 1, x = 2$.

б) $f(x) = -4$

Проведём горизонтальную прямую $y = -4$ и найдём её точки пересечения с графиком $f(x)$.
1. На интервале $[-2, 1]$ решаем уравнение $-x^2 = -4$. Получаем $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ или $x = -2$. В данный интервал входит только $x_1 = -2$.
2. На интервале $(1, 3]$ решаем уравнение $3x - 7 = -4$. Получаем $3x = 3$, откуда $x = 1$. Это значение не входит в интервал $(1, 3]$, так как он открыт слева (точка $(1, -4)$ выколота).
Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: $x = -2$.

в) $f(x) = 2$

Проведём горизонтальную прямую $y = 2$ и найдём её точки пересечения с графиком $f(x)$.
1. На интервале $[-2, 1]$ график функции $y = -x^2$ имеет максимальное значение $0$. Так как $2 > 0$, на этом участке пересечений нет.
2. На интервале $(1, 3]$ решаем уравнение $3x - 7 = 2$. Получаем $3x = 9$, откуда $x_1 = 3$. Это значение входит в данный интервал.
Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: $x = 3$.

г) $f(x) = 0$

Проведём горизонтальную прямую $y = 0$ (ось Ox) и найдём её точки пересечения с графиком $f(x)$.
1. На интервале $[-2, 1]$ решаем уравнение $-x^2 = 0$. Получаем $x_1 = 0$. Это значение входит в данный интервал.
2. На интервале $(1, 3]$ решаем уравнение $3x - 7 = 0$. Получаем $3x = 7$, откуда $x_2 = 7/3$. Значение $x = 7/3$ (или $2\frac{1}{3}$) входит в данный интервал.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x = 0, x = 7/3$.