Номер 46.46, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.46 При каких значениях $b$ уравнение $f(x) = b$, где

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1; \\ -2, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет бесконечное множество корней;

г) не имеет корней?

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $b$ уравнение $f(x) = b$ имеет определенное количество корней, необходимо исследовать, сколько раз горизонтальная прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$.

Функция задана кусочно:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ -2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей:

1. Часть параболы $y=x^2$ для всех $x$, не превосходящих 1. Эта часть включает в себя вершину параболы в точке $(0,0)$ и ветвь, уходящую влево вверх, а также правую ветвь до точки $(1,1)$ включительно. Значения функции на этом участке лежат в промежутке $[0, +\infty)$.
2. Горизонтальный луч $y=-2$, начинающийся от точки $(1,-2)$ (не включая ее) и идущий вправо. Значение функции на этом участке всегда равно -2.

Проанализируем количество решений уравнения $f(x)=b$ в зависимости от $b$, рассматривая пересечение прямой $y=b$ с графиком $y=f(x)$.

а) имеет один корень;

Уравнение имеет один корень, если прямая $y=b$ пересекает график $y=f(x)$ ровно в одной точке. Это происходит в двух случаях:

• Если прямая $y=b$ касается вершины параболы. Это происходит при $b=0$. Корень уравнения в этом случае $x=0$. Так как $0 \le 1$, это решение подходит.
• Если прямая $y=b$ находится выше точки $(1,1)$ параболы, то есть при $b > 1$. В этом случае прямая пересекает только левую ветвь параболы $y=x^2$ (где $x < 0$). Уравнение $x^2=b$ дает корень $x=-\sqrt{b}$, который удовлетворяет условию $x \le 1$. Второй корень $x=\sqrt{b}$ не подходит, так как $\sqrt{b} > 1$.

Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $b=0$ или $b > 1$.

Ответ: $b=0$ или $b > 1$.

б) имеет два корня;

Уравнение имеет два корня, если прямая $y=b$ пересекает график $y=f(x)$ в двух точках. Это происходит, когда прямая $y=b$ пересекает обе ветви параболы на участке $x \le 1$.

• Если $0 < b < 1$, прямая $y=b$ пересекает параболу в точках $x=\sqrt{b}$ и $x=-\sqrt{b}$. Оба корня удовлетворяют условию $x \le 1$, так как для таких $b$ выполняется $0 < \sqrt{b} < 1$.
• Если $b=1$, прямая $y=b$ пересекает параболу в точках $x=1$ и $x=-1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \le 1$.

Следовательно, уравнение имеет два корня при $0 < b \le 1$.

Ответ: $0 < b \le 1$.

в) имеет бесконечное множество корней;

Уравнение имеет бесконечное множество корней, если прямая $y=b$ совпадает с одной из частей графика. Это происходит, когда $b=-2$. В этом случае прямая $y=-2$ совпадает с графиком функции на всем интервале $x > 1$. Любое число из этого интервала является решением уравнения.

Ответ: $b=-2$.

г) не имеет корней?

Уравнение не имеет корней, если прямая $y=b$ не имеет ни одной общей точки с графиком функции $y=f(x)$. Область значений функции $f(x)$ есть объединение множеств $[0, +\infty)$ и $\{-2\}$. Если значение $b$ не входит в эту область, то корней нет.

Это происходит, когда $b$ меньше нуля, но не равно -2. То есть, при $b < -2$ или при $-2 < b < 0$.

Ответ: $b < -2$ или $-2 < b < 0$.