Номер 46.39, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.39 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ 0, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-2), f(0), f(2), f(-1), f(3);$

б) постройте график функции $y = f(x);$

в) опишите свойства функции $y = f(x)$ с помощью построенного графика.

а) Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, в какой из двух промежутков попадает значение аргумента $x$, и применить соответствующую формулу.

Чтобы найти $f(-2)$, заметим, что $x=-2$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -x^2$.
$f(-2) = -(-2)^2 = -(4) = -4$.

Чтобы найти $f(0)$, заметим, что $x=0$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 0$. Используем ту же формулу $f(x) = -x^2$.
$f(0) = -(0)^2 = 0$.

Чтобы найти $f(2)$, заметим, что $x=2$ принадлежит промежутку $0 < x \le 3$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 0$.
$f(2) = 0$.

Чтобы найти $f(-1)$, заметим, что $x=-1$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 0$. Используем формулу $f(x) = -x^2$.
$f(-1) = -(-1)^2 = -(1) = -1$.

Чтобы найти $f(3)$, заметим, что $x=3$ принадлежит промежутку $0 < x \le 3$. Используем формулу $f(x) = 0$.
$f(3) = 0$.

Ответ: $f(-2) = -4$; $f(0) = 0$; $f(2) = 0$; $f(-1) = -1$; $f(3) = 0$.

б) Построение графика функции $y = f(x)$ выполняется по частям, для каждого промежутка области определения.

1. На отрезке $[-2, 0]$ функция имеет вид $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Для построения найдем координаты нескольких точек:
- при $x = -2$, $y = -(-2)^2 = -4$. Координаты точки $(-2, -4)$.
- при $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Координаты точки $(-1, -1)$.
- при $x = 0$, $y = -(0)^2 = 0$. Координаты точки $(0, 0)$.
Так как концы отрезка $x=-2$ и $x=0$ включены, точки $(-2, -4)$ и $(0, 0)$ на графике будут закрашенными.

2. На полуинтервале $(0, 3]$ функция имеет вид $y = 0$. Это отрезок прямой, совпадающий с осью абсцисс, от точки $x=0$ (не включая) до точки $x=3$ (включая). Графиком является отрезок, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$. Точка $(3, 0)$ будет закрашенной. Точка $(0, 0)$ на этом участке была бы выколотой, но она уже определена и закрашена в предыдущем шаге, поэтому разрыва в этой точке нет.

Объединяя обе части, получаем итоговый график. Он состоит из дуги параболы, идущей от точки $(-2, -4)$ до $(0, 0)$, и отрезка оси $Ox$ от точки $(0, 0)$ до $(3, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, состоящую из двух частей: участка параболы $y=-x^2$ на отрезке $[-2, 0]$ и отрезка прямой $y=0$ на полуинтервале $(0, 3]$.

в) С помощью построенного графика опишем основные свойства функции $y = f(x)$.

1. Область определения функции: множество всех значений $x$, для которых функция определена. $D(f) = [-2, 3]$.

2. Область значений функции: множество всех значений $y$, которые принимает функция. $E(f) = [-4, 0]$.

3. Нули функции: значения $x$, при которых $f(x)=0$. Это происходит при $x=0$ и на всем промежутке $(0, 3]$. Таким образом, нули функции — это все $x \in [0, 3]$.

4. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x) > 0$ (график выше оси $Ox$): таких промежутков нет.
- $f(x) < 0$ (график ниже оси $Ox$): при $x \in [-2, 0)$.

5. Промежутки монотонности:
- функция возрастает на промежутке $[-2, 0]$.
- функция постоянна на промежутке $(0, 3]$.
- функция не убывает.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции:
- наименьшее значение: $y_{наим} = f(-2) = -4$.
- наибольшее значение: $y_{наиб} = 0$, достигается при всех $x \in [0, 3]$.

7. Четность и нечетность: Область определения $D(f) = [-2, 3]$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

8. Непрерывность: На графике нет разрывов, он представляет собой сплошную линию. Функция непрерывна на всей области определения $[-2, 3]$.

Ответ: Свойства функции: $D(f) = [-2, 3]$; $E(f) = [-4, 0]$; нули функции при $x \in [0, 3]$; $f(x) < 0$ при $x \in [-2, 0)$; функция возрастает на $[-2, 0]$ и постоянна на $(0, 3]$; $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = 0$; функция непрерывная, общего вида.