Номер 46.34, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.34 а) На рис. 65; б) на рис. 66; в) на рис. 67; г) на рис. 68.

$y$, $-1$, $O$, $1$, $x$

$y$, $-4$, $-1$, $O$, $1$, $1$, $2$, $4$, $x$

$y$, $-2$, $O$, $1$, $1$, $3$, $4$, $x$

$y$, $-1$, $1$, $4$, $-1$, $O$, $2$, $x$

а) На рис. 65

Данный график является кусочно-заданной функцией, состоящей из двух частей, с точкой "склейки" при $x=1$.

1. При $x \le 1$ график представляет собой часть параболы. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. Подставляя координаты вершины $(1, 0)$, получаем $y = a(x-1)^2$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой на этой части графика, например, $(0, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $1 = a(0-1)^2$, что дает $1 = a \cdot 1$, то есть $a=1$. Таким образом, для $x \le 1$ функция задается формулой $y = (x-1)^2$.

2. При $x > 1$ график представляет собой луч. Этот луч начинается в точке $(1, 0)$ и проходит, например, через точку $(2, 1)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Угловой коэффициент (наклон) прямой равен $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1-0}{2-1} = 1$. Используя уравнение прямой с угловым коэффициентом $y - y_1 = m(x-x_1)$ и точку $(1, 0)$, получаем: $y - 0 = 1(x-1)$, откуда $y = x-1$.

Объединяя эти две части, мы получаем аналитическое выражение для всей функции.

Ответ: $y = \begin{cases} (x-1)^2, & \text{если } x \le 1 \\ x-1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

б) На рис. 66

График состоит из трех различных частей, определенных на разных интервалах.

1. На интервале $-4 < x < -1$ график является отрезком прямой линии. Он соединяет выколотую (пустую) точку $(-4, 4)$ и точку $(-1, 1)$, которая, судя по всему, относится к следующему участку. Угловой коэффициент этой прямой: $m = \frac{4-1}{-4-(-1)} = \frac{3}{-3} = -1$. Уравнение прямой можно найти, используя точку $(-1, 1)$: $y - 1 = -1(x - (-1))$, что упрощается до $y - 1 = -x - 1$, или $y = -x$. Итак, для $-4 < x < -1$ имеем $y = -x$.

2. На полуинтервале $-1 \le x < 1$ график представляет собой часть параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Это соответствует стандартной параболе $y=x^2$. В точке $x=-1$ имеем $y = (-1)^2 = 1$, что соответствует сплошной точке $(-1, 1)$, соединяющей этот участок с предыдущим. В точке $x=1$ имеем $y=1^2=1$, что соответствует выколотой точке $(1, 1)$.

3. При $x \ge 1$ график также является частью параболы. Он начинается со сплошной точки $(1, 2)$ и проходит через точку $(2, 5)$. Эта кривая выглядит как парабола $y=x^2$, смещенная вверх. Проверим гипотезу, что это $y=x^2+c$. Подставим точку $(1, 2)$: $2 = 1^2+c \Rightarrow c=1$. Таким образом, формула для этой части $y=x^2+1$. Проверим точку $(2, 5)$: $y = 2^2+1 = 5$. Это совпадает с графиком.

Собирая все три части вместе, получаем окончательную формулу.

Ответ: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } -4 < x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ x^2+1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

в) На рис. 67

График представляет собой функцию модуля $y = k|x|$, поскольку он симметричен относительно оси $y$ и состоит из двух лучей, выходящих из начала координат.

Чтобы найти коэффициент $k$, возьмем любую точку на правой ветви, например, $(1, 3)$. Для $x > 0$, $|x| = x$, поэтому $y = kx$. Подставляя координаты точки, получаем $3 = k \cdot 1$, откуда $k=3$. Таким образом, уравнение функции — $y=3|x|$.

На графике в точке $(1, 3)$ показан пустой кружок (выколотая точка). Это означает, что точка $x=1$ не входит в область определения функции.

Таким образом, функция задается формулой $y=3|x|$, но с ограничением $x \neq 1$. Это можно записать в виде кусочно-заданной функции, раскрыв модуль.

Ответ: $y = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \le 0 \\ 3x, & \text{если } x \in (0, 1) \cup (1, \infty) \end{cases}$

г) На рис. 68

График представляет собой параболу.

1. Найдем уравнение параболы. Ее вершина находится в точке $(0, -1)$. Следовательно, ее уравнение имеет вид $y=ax^2-1$. Для определения коэффициента $a$ воспользуемся другой точкой на кривой, например, $(1, 0)$. Подставляем ее в уравнение: $0 = a(1)^2 - 1$, откуда $a=1$. Итак, уравнение параболы — $y=x^2-1$.

2. На графике есть две выколотые точки, означающие, что функция в соответствующих значениях $x$ не определена. Одна выколотая точка находится при $x=-1$, другая — при $x=2$. Это означает, что область определения функции исключает значения $x=-1$ и $x=2$.

(Примечание: на рисунке выколотые точки показаны в положениях $(-1, 1)$ и $(2, 4)$. Эти точки не лежат на параболе $y=x^2-1$, где при $x=-1$ $y=0$, а при $x=2$ $y=3$. Вероятнее всего, это неточность на чертеже, и имелось в виду, что из графика функции $y=x^2-1$ исключены точки, которые ей принадлежат, то есть $(-1, 0)$ и $(2, 3)$.)

Исходя из наиболее вероятной интерпретации, функция задана формулой $y=x^2-1$ с ограничениями на область определения.

Ответ: $y = x^2 - 1, \text{ при } x \neq -1 \text{ и } x \neq 2$