Номер 46.31, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Используя заданный график функции, установите:

1) какова область определения функции $y = f(x)$;

2) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;

3) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких точках

она претерпевает разрыв;

4) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;

5) где функция возрастает, где убывает.

Ответьте на эти вопросы для функции, график которой изобра-

жён:

46.31

a) На рис. 53;

б) на рис. 54;

в) на рис. 55;

г) на рис. 56.

Рис. 53

Рис. 54

Рис. 55

Рис. 56

1) какова область определения функции y = f(x);
Область определения функции — это проекция ее графика на ось абсцисс (Ox). Так как график функции простирается неограниченно влево и вправо по оси Ox, область определения включает в себя все действительные числа.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
Наименьшее значение функции — это ордината самой низкой точки графика. Для данной функции это вершина, точка с координатами $(0, -1)$. Наибольшего значения не существует, так как ветви графика уходят вверх в бесконечность.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -1$, наибольшего значения не существует.

3) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких точках она претерпевает разрыв;
Функция является непрерывной, так как ее график можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. На графике нет точек разрыва.
Ответ: функция непрерывна на всей области определения, точек разрыва нет.

4) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
- Значение функции равно нулю ($f(x) = 0$) в точках пересечения графика с осью Ox. Это происходит при $x = -1$ и $x = 1$.
- Значение функции больше нуля ($f(x) > 0$), когда график расположен выше оси Ox. Это происходит на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.
- Значение функции меньше нуля ($f(x) < 0$), когда график расположен ниже оси Ox. Это происходит на промежутке $(-1; 1)$.
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = -1, x = 1$; $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-1; 1)$.

5) где функция возрастает, где убывает.
- Функция убывает на промежутке, где график при движении слева направо идет вниз. Это происходит от $-\infty$ до $0$.
- Функция возрастает на промежутке, где график при движении слева направо идет вверх. Это происходит от $0$ до $+\infty$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

1) какова область определения функции y = f(x);
График функции простирается неограниченно влево и вправо, следовательно, функция определена для всех действительных значений аргумента $x$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
Наибольшее значение функции равно 2, оно достигается при всех $x \geq 1$. Наименьшего значения не существует, так как левая ветвь графика уходит вниз в бесконечность.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 2$, наименьшего значения не существует.

3) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких точках она претерпевает разрыв;
График функции является сплошной линией, его можно нарисовать не отрывая руки. Следовательно, функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: функция непрерывна, точек разрыва нет.

4) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
- $f(x) = 0$ в точке пересечения с осью Ox, то есть при $x = 0$.
- $f(x) > 0$ там, где график выше оси Ox, то есть при $x > 0$.
- $f(x) < 0$ там, где график ниже оси Ox, то есть при $x < 0$.
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

5) где функция возрастает, где убывает.
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$. На промежутке $[1; +\infty)$ функция является постоянной.
- Промежутков убывания у функции нет.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$, промежутков убывания нет.

1) какова область определения функции y = f(x);
График функции простирается неограниченно влево и вправо, значит, область определения — все действительные числа.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
Наибольшее значение функции равно 2 и достигается при всех $x \leq -1$. Наименьшего значения не существует, так как правая ветвь графика уходит вниз в бесконечность.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 2$, наименьшего значения не существует.

3) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких точках она претерпевает разрыв;
График функции — сплошная линия без разрывов, следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой.
Ответ: функция непрерывна, точек разрыва нет.

4) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
- $f(x) = 0$ в точке пересечения с осью Ox, то есть при $x = 0$.
- $f(x) > 0$ при $x < 0$.
- $f(x) < 0$ при $x > 0$.
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

5) где функция возрастает, где убывает.
- На промежутке $(-\infty; -1]$ функция постоянна. Функция убывает на промежутке $[-1; +\infty)$.
- Промежутков возрастания у функции нет.
Ответ: функция убывает на промежутке $[-1; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

1) какова область определения функции y = f(x);
График функции определен для всех значений $x$ от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
Наименьшее значение функции равно 2, оно достигается при всех $x \leq 2$. Наибольшего значения не существует, так как правая ветвь графика уходит вверх в бесконечность.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 2$, наибольшего значения не существует.

3) является ли функция непрерывной; если нет, то в каких точках она претерпевает разрыв;
График функции является сплошной линией, значит, функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: функция непрерывна, точек разрыва нет.

4) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
- График функции не пересекает ось Ox, значит, нулей у функции нет. - Весь график расположен выше оси Ox, причём наименьшее значение равно 2. Следовательно, $f(x) > 0$ для всех $x$. - Нет таких значений $x$, при которых $f(x) < 0$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$; нет значений $x$, при которых $f(x) = 0$ или $f(x) < 0$.

5) где функция возрастает, где убывает.
- На промежутке $(-\infty; 2]$ функция постоянна. Функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.
- Промежутков убывания у функции нет.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$, промежутков убывания нет.