Номер 46.25, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.25 Можно ли считать, что $y = f(x)$ — функция, где

a) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -4 \le x \le 0; \\ 2x, & \text{если } x \ge 1; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < 0; \\ x^2, & \text{если } x \ge -1? \end{cases}$

а)

По определению, зависимость $y = f(x)$ является функцией, если каждому значению независимой переменной $x$ из области определения функции соответствует ровно одно, единственное значение зависимой переменной $y$.

В данном случае, кусочно-заданная зависимость определена на двух промежутках:

1. $y = x^2$ для $x \in [-4, 0]$;
2. $y = 2x$ для $x \in [1, \infty)$.

Область определения $D(f)$ является объединением этих двух промежутков: $D(f) = [-4, 0] \cup [1, \infty)$.

Чтобы проверить, является ли эта зависимость функцией, нужно убедиться, что для каждого $x$ из $D(f)$ существует только один $y$. Это нарушается, если области определения разных "кусочков" пересекаются, и в точках пересечения значения не совпадают.

В нашем случае промежутки $[-4, 0]$ и $[1, \infty)$ не пересекаются. Их пересечение является пустым множеством. Это означает, что для любого $x$ из области определения $D(f)$ существует только одно правило для вычисления $y$. Например, для $x=-2$ (попадает в первый промежуток) $y = (-2)^2 = 4$. Для $x=3$ (попадает во второй промежуток) $y = 2 \cdot 3 = 6$. Не существует такого $x$, для которого можно было бы применить обе формулы одновременно.

Следовательно, каждому значению $x$ из области определения $D(f)$ соответствует единственное значение $y$.

Ответ: Да, можно считать, что $y=f(x)$ — функция.

б)

Рассмотрим зависимость $f(x) = \begin{cases} x+2, & \text{если } x < 0; \\ x^2, & \text{если } x \ge -1. \end{cases}$

Эта зависимость определена на двух промежутках:

1. $y = x+2$ для $x \in (-\infty, 0)$;
2. $y = x^2$ для $x \in [-1, \infty)$.

Найдем пересечение этих двух промежутков. Это множество всех $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x < 0$ и $x \ge -1$. Таким образом, промежутки пересекаются на интервале $[-1, 0)$.

Для любого $x$ из этого интервала $[-1, 0)$ существуют два правила для вычисления $y$. Чтобы зависимость была функцией, результаты вычислений по обоим правилам должны быть одинаковыми для всех $x$ из интервала пересечения. Проверим, выполняется ли равенство: $x+2 = x^2$

Перепишем уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. $x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$.

Равенство $x+2=x^2$ справедливо только для двух значений $x$. Однако, для того чтобы $f(x)$ была функцией, это равенство должно было бы выполняться для всех $x$ из интервала пересечения $[-1, 0)$.

Возьмем произвольную точку из интервала $[-1, 0)$, например, $x = -0.5$, и вычислим значение $y$ по обоим правилам:

• По первому правилу ($x < 0$): $y = -0.5 + 2 = 1.5$.
• По второму правилу ($x \ge -1$): $y = (-0.5)^2 = 0.25$.

Поскольку $1.5 \ne 0.25$, одному значению $x=-0.5$ соответствуют два разных значения $y$. Это нарушает определение функции.

Ответ: Нет, нельзя считать, что $y=f(x)$ — функция.