Номер 46.23, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.23 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. Найдите:

а) $f(-12) - 44, f(9) - 1, f(7) - f(3), f(3) + f(4);$

б) $f(a + b), f(a) + b, f(b) - a, f(a) + f(b);$

в) $f(ab), af(b), -bf(a), f\left(\frac{a}{b}\right);$

г) $f(x - 1) + f(x + 1), f(x + 2) - f(x), \frac{f(x) - 1}{f(x - 1)}, \frac{f(x + 2)}{f(x) - 4}.$

Дана функция $f(x) = x^2$. Для решения задачи необходимо подставлять в эту формулу вместо $x$ указанные в скобках у $f$ значения или выражения.

а) Выполним вычисления для числовых аргументов:
$f(-12) - 44 = (-12)^2 - 44 = 144 - 44 = 100$.
$f(9) - 1 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$.
$f(7) - f(3) = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40$.
$f(3) + f(4) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Ответ: $100$; $80$; $40$; $25$.

б) Найдем значения выражений с переменными $a$ и $b$:
$f(a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$f(a) + b = (a^2) + b = a^2 + b$.
$f(b) - a = (b^2) - a = b^2 - a$.
$f(a) + f(b) = a^2 + b^2$.
Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$; $a^2 + b$; $b^2 - a$; $a^2 + b^2$.

в) Найдем значения выражений, включающих произведения и частные:
$f(ab) = (ab)^2 = a^2b^2$.
$af(b) = a \cdot (b^2) = ab^2$.
$-bf(a) = -b \cdot (a^2) = -a^2b$.
$f\left(\frac{a}{b}\right) = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$. Данное выражение определено при $b \ne 0$.
Ответ: $a^2b^2$; $ab^2$; $-a^2b$; $\frac{a^2}{b^2}$.

г) Упростим функциональные выражения:
$f(x - 1) + f(x + 1) = (x - 1)^2 + (x + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2$.
$f(x + 2) - f(x) = (x + 2)^2 - x^2 = (x^2 + 4x + 4) - x^2 = 4x + 4$.
$\frac{f(x) - 1}{f(x - 1)} = \frac{x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1}$. Сокращение дроби возможно при условии, что знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne 1$.
$\frac{f(x + 2)}{f(x) - 4} = \frac{(x+2)^2}{x^2 - 4} = \frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2}{x-2}$. Сокращение дроби возможно при условии, что знаменатель не равен нулю, т.е. $x^2-4 \ne 0$, откуда $x \ne 2$ и $x \ne -2$.
Ответ: $2x^2 + 2$; $4x + 4$; $\frac{x+1}{x-1}$; $\frac{x+2}{x-2}$.