Номер 46.28, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.28 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x + 2, \text{ если } x < -1; \\ x^2, \text{ если } -1 \le x \le 2; \\ x + 2, \text{ если } x > 2. \end{cases}$

a) Вычислите $f(0)$, $f(-2)$, $f(2)$, $f(3)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) С помощью графика найдите значения аргумента, если $f(x) = 1$, $f(x) = 0$, $f(x) = 4$, $f(x) = -1$.

а) Вычислите f(0), f(-2), f(2), f(3).

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

• Вычисление $f(0)$:
  Точка $x=0$ принадлежит промежутку $-1 \le x \le 2$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x^2$.
  $f(0) = 0^2 = 0$.

• Вычисление $f(-2)$:
  Точка $x=-2$ принадлежит промежутку $x < -1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x + 2$.
  $f(-2) = -2 + 2 = 0$.

• Вычисление $f(2)$:
  Точка $x=2$ принадлежит промежутку $-1 \le x \le 2$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x^2$.
  $f(2) = 2^2 = 4$.

• Вычисление $f(3)$:
  Точка $x=3$ принадлежит промежутку $x > 2$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x + 2$.
  $f(3) = 3 + 2 = 5$.

Ответ: $f(0) = 0$; $f(-2) = 0$; $f(2) = 4$; $f(3) = 5$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из трех частей:

1. При $x < -1$ функция имеет вид $y = x + 2$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x=-2$, то $y=0$; если $x=-3$, то $y=-1$. На границе интервала, в точке $x=-1$, значение функции стремится к $y = -1 + 2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ является конечной для этого луча (теоретически "выколотая").

2. При $-1 \le x \le 2$ функция имеет вид $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значения на границах интервала: $f(-1) = (-1)^2 = 1$ и $f(2) = 2^2 = 4$. Таким образом, эта часть графика представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-1, 1)$ и $(2, 4)$. Точка $(-1, 1)$ является "закрашенной" и совпадает с конечной точкой предыдущего луча.

3. При $x > 2$ функция снова имеет вид $y = x + 2$. Это прямая линия. На границе интервала, в точке $x=2$, значение функции стремится к $y = 2 + 2 = 4$. Точка $(2, 4)$ является начальной для этого луча (теоретически "выколотая"). Для построения возьмем еще одну точку: если $x=3$, то $y=5$.

Так как в точках "стыковки" $x=-1$ и $x=2$ значения функции совпадают ($f(-1)=1$ и $f(2)=4$), график является непрерывной линией.

Итоговый график функции $y = f(x)$:

Ответ: График функции построен и представлен выше.

в) С помощью графика найдите значения аргумента, если f(x) = 1, f(x) = 0, f(x) = 4, f(x) = -1.

Для нахождения значений аргумента $x$, соответствующих заданным значениям функции $f(x)$, проведем на графике горизонтальные прямые $y=1, y=0, y=4, y=-1$ и найдем абсциссы точек их пересечения с графиком функции $y=f(x)$.

• При $f(x) = 1$ (прямая $y=1$):
  Прямая пересекает параболическую часть графика в двух точках. Для нахождения их абсцисс решим уравнение $x^2 = 1$ на отрезке $[-1, 2]$. Корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Оба корня принадлежат данному отрезку. Значения аргумента: $x = -1$, $x = 1$.

• При $f(x) = 0$ (прямая $y=0$, ось абсцисс):
  Прямая пересекает график в двух точках. Первая точка находится на луче $y = x+2$ (при $x < -1$). Решаем уравнение $x+2=0$, получаем $x=-2$. Это значение удовлетворяет условию $x < -1$. Вторая точка — вершина параболы. Решаем уравнение $x^2 = 0$, получаем $x=0$. Это значение удовлетворяет условию $-1 \le x \le 2$. Значения аргумента: $x = -2$, $x = 0$.

• При $f(x) = 4$ (прямая $y=4$):
  Прямая касается графика в одной точке, где парабола переходит в луч. Это точка $(2, 4)$. Проверим: $f(2) = 2^2 = 4$. При $x > 2$ значения функции $y = x+2$ строго больше 4. Значение аргумента: $x = 2$.

• При $f(x) = -1$ (прямая $y=-1$):
  Прямая пересекает график в одной точке на луче $y = x+2$ (при $x < -1$). Решаем уравнение $x+2 = -1$, получаем $x=-3$. Это значение удовлетворяет условию $x < -1$. На других участках (парабола $y=x^2$) значения функции неотрицательны. Значение аргумента: $x = -3$.

Ответ: если $f(x)=1$, то $x=-1$ или $x=1$; если $f(x)=0$, то $x=-2$ или $x=0$; если $f(x)=4$, то $x=2$; если $f(x)=-1$, то $x=-3$.