Номер 46.33, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.33 а) На рис. 61;

б) на рис. 62;

в) на рис. 63;

г) на рис. 64.

Рис. 61

Рис. 62

Рис. 63

Рис. 64

Проанализируем свойства функции, график которой изображен на рисунке 61. График состоит из трех частей: ветви параболы для $x \le 0$, отрезка прямой для $0 < x \le 2$ и луча для $x > 2$.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений. Функция принимает все значения от 0 включительно и выше, то есть $E(f) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции. График пересекает ось абсцисс в точке $x=0$, следовательно, $f(x)=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства. Функция положительна на всей области определения, кроме точки $x=0$. То есть $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

5. Промежутки монотонности:
• Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0; 2]$.
• Функция является постоянной на промежутке $[2; +\infty)$.

6. Наибольшее и наименьшее значения:
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = 0$ (достигается при $x=0$).
• Наибольшего значения не существует, так как функция неограниченно возрастает при $x \to -\infty$.

7. Непрерывность. Функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Аналитически функция задается следующим образом: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \le 0 \\ x, & \text{при } 0 < x \le 2 \\ 2, & \text{при } x > 2 \end{cases}$.

Проанализируем свойства функции, график которой изображен на рисунке 62. График состоит из двух отрезков: горизонтального и наклонного.

1. Область определения. Функция определена на отрезке от -4 до 2. $D(f) = [-4; 2]$.

2. Область значений. Функция принимает значения от -2 до 4 включительно. $E(f) = [-2; 4]$.

3. Нули функции. График пересекает ось абсцисс в одной точке. Найдем ее: на промежутке $(-2; 2]$ функция задается формулой, которую можно найти по двум точкам $(-2; -2)$ и $(2; 4)$, это $y = \frac{3}{2}x + 1$. Решим уравнение $\frac{3}{2}x + 1 = 0$, откуда $x = -2/3$. Таким образом, $f(x)=0$ при $x = -2/3$.

4. Промежутки знакопостоянства:
• $f(x) > 0$ при $x \in (-2/3; 2]$.
• $f(x) < 0$ при $x \in [-4; -2/3)$.

5. Промежутки монотонности:
• Функция является постоянной на промежутке $[-4; -2]$.
• Функция возрастает на промежутке $[-2; 2]$.

6. Наибольшее и наименьшее значения:
• Наименьшее значение функции $y_{min} = -2$, достигается на всем промежутке $x \in [-4; -2]$.
• Наибольшее значение функции $y_{max} = 4$, достигается при $x=2$.

7. Непрерывность. Функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Аналитически функция задается следующим образом: $f(x) = \begin{cases} -2, & \text{при } -4 \le x \le -2 \\ \frac{3}{2}x + 1, & \text{при } -2 < x \le 2 \end{cases}$.

Проанализируем свойства функции, график которой изображен на рисунке 63. График состоит из двух отрезков и горизонтального луча.

1. Область определения. Функция определена для всех $x \ge -4$. $D(f) = [-4; +\infty)$.

2. Область значений. Функция принимает значения от 0 до 4 включительно. $E(f) = [0; 4]$.

3. Нули функции. График касается оси абсцисс в точке $x=0$. $f(x)=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства. Функция неотрицательна на всей области определения. $f(x) > 0$ при $x \in [-4; 0) \cup (0; +\infty)$.

5. Промежутки монотонности:
• Функция убывает на промежутке $[-4; 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0; 1]$.
• Функция является постоянной на промежутке $[1; +\infty)$.

6. Наибольшее и наименьшее значения:
• Наименьшее значение функции (глобальный минимум) $y_{min} = 0$, достигается при $x=0$.
• Наибольшее значение функции (глобальный максимум) $y_{max} = 4$, достигается при $x=-4$.

7. Непрерывность. Функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Аналитически функция задается следующим образом: $f(x) = \begin{cases} -x, & \text{при } -4 \le x \le 0 \\ 3x, & \text{при } 0 < x \le 1 \\ 3, & \text{при } x > 1 \end{cases}$.

Проанализируем свойства функции, график которой изображен на рисунке 64. График состоит из отрезка, части параболы и отрезка прямой, причем концы области определения не включены.

1. Область определения. Функция определена на интервале от -5 до 2. $D(f) = (-5; 2)$.

2. Область значений. Функция принимает значения от 0 включительно до 4 не включительно. $E(f) = [0; 4)$.

3. Нули функции. График касается оси абсцисс в точке $x=0$. $f(x)=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства. Функция неотрицательна на всей области определения. $f(x) > 0$ при $x \in (-5; 0) \cup (0; 2)$.

5. Промежутки монотонности:
• Функция является постоянной на промежутке $(-5; -1]$.
• Функция убывает на промежутке $[-1; 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0; 2)$.

6. Наибольшее и наименьшее значения:
• Наименьшее значение функции (глобальный минимум) $y_{min} = 0$, достигается при $x=0$.
• Наибольшего значения у функции нет. Точная верхняя грань (супремум) значений функции равна 4, но это значение не достигается.

7. Непрерывность. Функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Аналитически функция задается следующим образом: $f(x) = \begin{cases} 3, & \text{при } -5 < x \le -1 \\ -3x, & \text{при } -1 < x \le 0 \\ x^2, & \text{при } 0 < x < 2 \end{cases}$.