Номер 46.30, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.30 a)

$y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } -4 \leq x \leq -2; \\ 0, & \text{если } -2 < x \leq 0; \\ x^2, & \text{если } 0 < x \leq 3; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{x}{2} + 2, & \text{если } -6 \leq x \leq -2; \\ x^2, & \text{если } -2 < x \leq 1; \\ 3 - 2x, & \text{если } 1 < x \leq 5. \end{cases}$

а)

Дана кусочно-заданная функция:

$y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } -4 \le x \le -2; \\ 0, & \text{если } -2 < x \le 0; \\ x^2, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

Для построения графика и анализа функции рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На интервале $-4 \le x \le -2$ функция задана формулой $y = x + 2$. Это линейная функция, ее график – отрезок прямой. Найдем координаты концов этого отрезка:

• При $x = -4$, $y = -4 + 2 = -2$. Точка $(-4, -2)$.
• При $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Обе точки принадлежат графику, так как неравенства на концах интервала нестрогие.

2. На интервале $-2 < x \le 0$ функция задана формулой $y = 0$. Это постоянная функция, ее график – отрезок горизонтальной прямой, лежащей на оси Ox. Найдем координаты концов отрезка:

• На левой границе, при $x \to -2^+$, значение функции равно 0. Точка $(-2, 0)$ не входит в данный участок, но она является конечной точкой предыдущего участка. Это означает, что в точке $x = -2$ функция непрерывна.
• На правой границе, при $x = 0$, значение функции $y = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

3. На интервале $0 < x \le 3$ функция задана формулой $y = x^2$. Это квадратичная функция, ее график – часть параболы с вершиной в начале координат и ветвями вверх. Найдем значения на концах интервала:

• На левой границе, при $x \to 0^+$, значение функции $y \to 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ не входит в данный участок, но она является конечной точкой предыдущего участка. Таким образом, в точке $x = 0$ функция также непрерывна.
• На правой границе, при $x = 3$, значение функции $y = 3^2 = 9$. Точка $(3, 9)$ принадлежит графику.

Свойства функции:

• Область определения $D(y)$: Объединение всех интервалов: $[-4, -2] \cup (-2, 0] \cup (0, 3] = [-4, 3]$.
• Область значений $E(y)$: На первом участке значения изменяются от -2 до 0. На втором участке значение постоянно и равно 0. На третьем – от 0 (не включая) до 9 (включая). Объединяя все возможные значения $y$, получаем $E(y) = [-2, 9]$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-4, 3]$, так как на границах участков ($x=-2$ и $x=0$) значения функции совпадают.

Ответ: Функция состоит из трех соединенных участков: отрезка прямой от точки $(-4, -2)$ до точки $(-2, 0)$; отрезка оси Ox от точки $(-2, 0)$ до точки $(0, 0)$; и части параболы от точки $(0, 0)$ до точки $(3, 9)$. Функция непрерывна. Область определения: $x \in [-4, 3]$. Область значений: $y \in [-2, 9]$.

б)

Дана кусочно-заданная функция:

$y = \begin{cases} \frac{x}{2} + 2, & \text{если } -6 \le x \le -2; \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 1; \\ 3 - 2x, & \text{если } 1 < x \le 5. \end{cases}$

Проанализируем каждый участок функции.

1. На интервале $-6 \le x \le -2$ функция задана формулой $y = \frac{x}{2} + 2$. Это линейная функция, ее график – отрезок прямой. Найдем координаты концов этого отрезка:

• При $x = -6$, $y = \frac{-6}{2} + 2 = -3 + 2 = -1$. Точка $(-6, -1)$.
• При $x = -2$, $y = \frac{-2}{2} + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(-2, 1)$.

Обе точки принадлежат графику, так как неравенства нестрогие.

2. На интервале $-2 < x \le 1$ функция задана формулой $y = x^2$. Это квадратичная функция, ее график – часть параболы. Найдем значения на концах интервала:

• На левой границе, при $x \to -2^+$, предел функции $y \to (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ является "выколотой" (не принадлежит графику). Поскольку на первом участке $y(-2) = 1$, а предел справа равен 4, то в точке $x=-2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).
• На правой границе, при $x = 1$, значение функции $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.

Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0, 0)$, которая принадлежит данному интервалу.

3. На интервале $1 < x \le 5$ функция задана формулой $y = 3 - 2x$. Это линейная функция, ее график – отрезок прямой. Найдем значения на концах интервала:

• На левой границе, при $x \to 1^+$, предел функции $y \to 3 - 2(1) = 1$. Точка $(1, 1)$ является "выколотой" для этого участка, но она принадлежит графику на предыдущем участке. Следовательно, в точке $x=1$ функция непрерывна.
• На правой границе, при $x = 5$, значение функции $y = 3 - 2(5) = 3 - 10 = -7$. Точка $(5, -7)$ принадлежит графику.

Свойства функции:

• Область определения $D(y)$: Объединение всех интервалов: $[-6, -2] \cup (-2, 1] \cup (1, 5] = [-6, 5]$.
• Область значений $E(y)$:
  • На $[-6, -2]$ значения от -1 до 1, т.е. $y \in [-1, 1]$.
  • На $(-2, 1]$ значения от $y=0$ (в вершине) до $y \to 4$ (на левой границе) и $y=1$ (на правой границе). Итоговый диапазон для этого участка: $[0, 4)$.
  • На $(1, 5]$ значения убывают от $y \to 1$ до $y = -7$. Диапазон: $[-7, 1)$.
  Объединяя все полученные множества $[-1, 1] \cup [0, 4) \cup [-7, 1)$, получаем итоговую область значений $E(y) = [-7, 4)$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения, за исключением точки $x = -2$, где она терпит разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Функция состоит из трех участков: отрезка прямой от $(-6, -1)$ до $(-2, 1)$; части параболы от "выколотой" точки $(-2, 4)$ через $(0,0)$ до точки $(1, 1)$; и отрезка прямой от точки $(1, 1)$ до точки $(5, -7)$. В точке $x=-2$ функция имеет разрыв. Область определения: $x \in [-6, 5]$. Область значений: $y \in [-7, 4)$.