Номер 46.36, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.36 a) На рис. 57; б) на рис. 58; в) на рис. 59; г) на рис. 60.

Рис. 57

Рис. 58

Рис. 59

Рис. 60

a) На рис. 57

На рисунке изображен график функции, состоящий из двух частей. При $x \le 0$ это ветвь параболы $y = -x^2$ с вершиной в начале координат. При $x > 0$ это луч прямой $y = -x$, выходящий из начала координат. Функция непрерывна на всей области определения.

Область определения функции — это множество всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции — это все числа от $-\infty$ до $0$ включительно: $E(f) = (-\infty; 0]$.

Функция обращается в ноль при $x=0$. Это единственный нуль функции.

Промежутки знакопостоянства: функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) при всех $x$ из области определения, кроме $x=0$, то есть при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Положительных значений функция не принимает.

Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

В точке $x=0$ функция достигает своего наибольшего значения (максимума): $y_{max} = y(0) = 0$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $(-\infty; 0]$; нуль функции: $x=0$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; возрастает на $(-\infty; 0]$, убывает на $[0; +\infty)$; максимум функции $y_{max}=0$.

б) На рис. 58

График функции состоит из двух частей. На промежутке $(-1; 2]$ это часть параболы $y = x^2$. На промежутке $(2; +\infty)$ это горизонтальная прямая $y=4$. В точке $x=-1$ функция не определена (выколотая точка). В точке $x=2$ функция непрерывна.

Область определения функции: $D(f) = (-1; +\infty)$.

Область значений функции: минимальное значение равно $0$, максимальное равно $4$. $E(f) = [0; 4]$.

Нуль функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y>0$) при $x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$. Отрицательных значений нет.

Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-1; 0]$, возрастает на промежутке $[0; 2]$ и постоянна на промежутке $[2; +\infty)$.

В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения (минимума): $y_{min} = y(0) = 0$.

Ответ: Область определения: $(-1; +\infty)$; область значений: $[0; 4]$; нуль функции: $x=0$; $y>0$ при $x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$; убывает на $(-1; 0]$, возрастает на $[0; 2]$, постоянна на $[2; +\infty)$; минимум функции $y_{min}=0$.

в) На рис. 59

График функции состоит из двух несвязанных частей. На отрезке $[-4; -1]$ это горизонтальная прямая $y = -1$. На отрезке $[0; 2]$ это часть параболы $y = -x^2$. Между $x=-1$ и $x=0$ функция не определена.

Область определения функции является объединением двух отрезков: $D(f) = [-4; -1] \cup [0; 2]$.

Область значений функции: на первом отрезке значение постоянно и равно $-1$, на втором отрезке значения меняются от $-4$ до $0$. Таким образом, $E(f) = [-4; 0]$.

Нуль функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) при $x \in [-4; -1] \cup (0; 2]$. Положительных значений нет.

Промежутки монотонности: функция постоянна на отрезке $[-4; -1]$ и убывает на отрезке $[0; 2]$.

Функция имеет наибольшее значение (максимум) $y_{max} = y(0) = 0$ и наименьшее значение (минимум) $y_{min} = y(2) = -4$.

Ответ: Область определения: $[-4; -1] \cup [0; 2]$; область значений: $[-4; 0]$; нуль функции: $x=0$; $y < 0$ при $x \in [-4; -1] \cup (0; 2]$; постоянна на $[-4; -1]$, убывает на $[0; 2]$; $y_{max}=0$, $y_{min}=-4$.

г) На рис. 60

График функции состоит из двух частей, непрерывно соединенных в точке $(1; 1)$. На полуинтервале $(-2; 1]$ это часть параболы $y = x^2$. На интервале $(1; 5)$ это отрезок прямой $y=x$. В точках $x=-2$ и $x=5$ функция не определена (выколотые точки).

Область определения функции: $D(f) = (-2; 5)$.

Область значений функции: наименьшее значение равно $0$. Значения функции стремятся к $5$ при $x \to 5$, но не достигают его. $E(f) = [0; 5)$.

Нуль функции: $y=0$ при $x=0$.

Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y>0$) при $x \in (-2; 0) \cup (0; 5)$. Отрицательных значений нет.

Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-2; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; 5)$.

В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения (минимума): $y_{min} = y(0) = 0$. Наибольшего значения функция не достигает.

Ответ: Область определения: $(-2; 5)$; область значений: $[0; 5)$; нуль функции: $x=0$; $y>0$ при $x \in (-2; 0) \cup (0; 5)$; убывает на $(-2; 0]$, возрастает на $[0; 5)$; минимум функции $y_{min}=0$.