Номер 46.41, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.41 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \left\{ \begin{aligned} -1, & \text{ если } -3 \le x \le -1; \\ -x^2, & \text{ если } -1 < x \le 1; \\ x, & \text{ если } 1 < x \le 6. \end{aligned} \right.$

а) Вычислите $f(-2)$, $f(4)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(5)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) опишите свойства функции $y = f(x)$ с помощью построенного графика.

а) Вычислите $f(-2)$, $f(4)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(5)$

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

• Для $x = -2$: значение $-2$ попадает в промежуток $-3 \le x \le -1$. На этом промежутке $f(x) = -1$.
  Следовательно, $f(-2) = -1$.

• Для $x = 4$: значение $4$ попадает в промежуток $1 < x \le 6$. На этом промежутке $f(x) = x$.
  Следовательно, $f(4) = 4$.

• Для $x = -1$: значение $-1$ попадает в промежуток $-3 \le x \le -1$ (так как неравенство нестрогое). На этом промежутке $f(x) = -1$.
  Следовательно, $f(-1) = -1$.

• Для $x = 1$: значение $1$ попадает в промежуток $-1 < x \le 1$. На этом промежутке $f(x) = -x^2$.
  Следовательно, $f(1) = -(1)^2 = -1$.

• Для $x = 5$: значение $5$ попадает в промежуток $1 < x \le 6$. На этом промежутке $f(x) = x$.
  Следовательно, $f(5) = 5$.

Ответ: $f(-2) = -1$; $f(4) = 4$; $f(-1) = -1$; $f(1) = -1$; $f(5) = 5$.

б) постройте график функции y = f(x)

График функции $y=f(x)$ является кусочным и состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем интервале:

1. На отрезке $[-3, -1]$ функция имеет вид $y = -1$. Это отрезок горизонтальной прямой, соединяющий точки $(-3, -1)$ и $(-1, -1)$. Обе точки включены.

2. На полуинтервале $(-1, 1]$ функция имеет вид $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. В точке $x=-1$ значение функции равно $-(-1)^2 = -1$, что совпадает со значением на предыдущем участке, поэтому в этой точке разрыва нет. В точке $x=1$ значение $y = -(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$ принадлежит графику.

3. На полуинтервале $(1, 6]$ функция имеет вид $y = x$. Это отрезок прямой, проходящей через начало координат под углом 45 градусов. В точке $x=1$ значение $y=1$, эта точка не принадлежит графику (изображается выколотой). В точке $x=6$ значение $y=6$, эта точка принадлежит графику.

Ниже представлен график функции $y=f(x)$:

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

в) опишите свойства функции y = f(x) с помощью построенного графика.

На основе построенного графика перечислим основные свойства функции $y=f(x)$:

• Область определения функции $D(f)$ (множество всех допустимых значений $x$): $D(f) = [-3, 6]$.

• Область значений функции $E(f)$ (множество всех принимаемых значений $y$): $E(f) = [-1, 0] \cup (1, 6]$.

• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $x=1$. В точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

• Нули функции (точки, в которых $f(x)=0$): $f(x)=0$ при $x=0$.

• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (1, 6]$;
  $f(x) < 0$ при $x \in [-3, 0) \cup (0, 1]$.

• Промежутки монотонности:
  Функция возрастает на промежутках $x \in (-1, 0]$ и $x \in (1, 6]$;
  Функция убывает на промежутке $x \in (0, 1]$;
  Функция постоянна на промежутке $x \in [-3, -1]$.

• Экстремумы функции:
  Точка локального максимума: $x=0$, $f(0)=0$.
  Наибольшее значение функции на области определения: $f_{max} = f(6) = 6$.
  Наименьшее значение функции на области определения: $f_{min} = -1$, достигается при $x \in [-3, -1]$ и при $x=1$.

• Четность: область определения $D(f)=[-3, 6]$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Ответ: Свойства функции, определенные по ее графику, описаны выше.