Номер 46.40, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.40 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ 4x, & \text{если } 0 < x \le 1; \\ 4, & \text{если } 1 < x < 3. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-1)$, $f(2)$, $f(1)$, $f(1,5)$, $f(-2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) опишите свойства функции $y = f(x)$ с помощью построенного графика.

Дана кусочно-заданная функция:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ 4x, & \text{если } 0 < x \le 1; \\ 4, & \text{если } 1 < x < 3. \end{cases}$

Для вычисления значений функции необходимо определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.
- Для $f(-1)$: значение $x = -1$ принадлежит промежутку $[-2, 0]$, поэтому используем формулу $f(x) = x^2$.
$f(-1) = (-1)^2 = 1$.
- Для $f(2)$: значение $x = 2$ принадлежит промежутку $(1, 3)$, поэтому используем формулу $f(x) = 4$.
$f(2) = 4$.
- Для $f(1)$: значение $x = 1$ принадлежит промежутку $(0, 1]$, поэтому используем формулу $f(x) = 4x$.
$f(1) = 4 \cdot 1 = 4$.
- Для $f(1,5)$: значение $x = 1,5$ принадлежит промежутку $(1, 3)$, поэтому используем формулу $f(x) = 4$.
$f(1,5) = 4$.
- Для $f(-2)$: значение $x = -2$ принадлежит промежутку $[-2, 0]$, поэтому используем формулу $f(x) = x^2$.
$f(-2) = (-2)^2 = 4$.
Ответ: $f(-1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(1) = 4$, $f(1,5) = 4$, $f(-2) = 4$.

График функции $y=f(x)$ состоит из трех частей, которые строятся на соответствующих промежутках:
1. На промежутке $[-2, 0]$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Границами этого участка служат точки $(-2, f(-2)) = (-2, 4)$ и $(0, f(0)) = (0, 0)$. Обе точки являются частью графика (закрашенные).
2. На промежутке $(0, 1]$ строим график функции $y = 4x$. Это отрезок прямой, проходящей через начало координат. Границами служат точки $(0, 0)$ и $(1, f(1)) = (1, 4)$. Точка $(0, 0)$ для этого промежутка выколотая, но она входит в график за счет первого промежутка. Точка $(1, 4)$ закрашенная.
3. На промежутке $(1, 3)$ строим график функции $y = 4$. Это отрезок горизонтальной прямой. Границами служат точки $(1, 4)$ и $(3, 4)$. Точка $(1, 4)$ для этого промежутка выколотая, но она входит в график за счет второго промежутка. Точка $(3, 4)$ выколотая, так как $x=3$ не принадлежит области определения.
В результате все три части графика соединяются в точках $(0,0)$ и $(1,4)$, образуя непрерывную линию.
Ответ: Для построения графика необходимо начертить на координатной плоскости часть параболы $y=x^2$ на отрезке $[-2, 0]$, отрезок прямой $y=4x$ на полуинтервале $(0, 1]$ и отрезок горизонтальной прямой $y=4$ на интервале $(1, 3)$.

Основные свойства функции, определенные по построенному графику:
1. Область определения: $D(f) = [-2, 3)$.
2. Область значений: $E(f) = [0, 4]$.
3. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = 0$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ для всех $x \in [-2, 0) \cup (0, 3)$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $[-2, 0]$; возрастает на промежутке $[0, 1]$; постоянна на промежутке $[1, 3)$.
6. Четность, нечетность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшее значение $f_{max} = 4$ достигается при $x=-2$ и на всем промежутке $[1, 3)$; наименьшее значение $f_{min} = 0$ достигается при $x=0$.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения $[-2, 3)$.
Ответ: Основные свойства функции (область определения и значений, нули, знакопостоянство, монотонность, четность/нечетность, экстремумы, непрерывность) описаны в пунктах 1-8.