Номер 46.42, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.42 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 2; \\ 2x + 2, & \text{если } 2 < x < 4. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-3)$, $f(2)$, $f(0)$, $f(-1)$, $f(\frac{1}{2})$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) опишите свойства функции $y = f(x)$ с помощью построенного графика.

а) Вычислите f(-3), f(2), f(0), f(-1), f($\frac{1}{2}$);

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках необходимо определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Для $x = -3$: это значение принадлежит промежутку $[-3; -1]$. На этом промежутке $f(x) = 1$.
  Следовательно, $f(-3) = 1$.

• Для $x = 2$: это значение принадлежит промежутку $(-1; 2]$. На этом промежутке $f(x) = x^2$.
  Следовательно, $f(2) = 2^2 = 4$.

• Для $x = 0$: это значение принадлежит промежутку $(-1; 2]$. На этом промежутке $f(x) = x^2$.
  Следовательно, $f(0) = 0^2 = 0$.

• Для $x = -1$: это значение принадлежит промежутку $[-3; -1]$. На этом промежутке $f(x) = 1$.
  Следовательно, $f(-1) = 1$.

• Для $x = \frac{1}{2}$: это значение (0,5) принадлежит промежутку $(-1; 2]$. На этом промежутке $f(x) = x^2$.
  Следовательно, $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $f(-3) = 1$; $f(2) = 4$; $f(0) = 0$; $f(-1) = 1$; $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции состоит из трех частей:

1. На промежутке $[-3; -1]$ график функции $y = 1$ — это отрезок горизонтальной прямой, соединяющий точки $(-3; 1)$ и $(-1; 1)$. Обе точки включены.

2. На промежутке $(-1; 2]$ график функции $y = x^2$ — это часть параболы с вершиной в точке $(0; 0)$. График проходит через точку $(-1; 1)$ (которая соединяется с предыдущим участком) и заканчивается в точке $(2; 4)$. Точка $(2; 4)$ включена.

3. На промежутке $(2; 4)$ график функции $y = 2x + 2$ — это отрезок прямой. В точке $x=2$ значение функции было бы $y = 2 \cdot 2 + 2 = 6$. В точке $x=4$ значение было бы $y = 2 \cdot 4 + 2 = 10$. Таким образом, это отрезок прямой, соединяющий точки $(2; 6)$ и $(4; 10)$. Обе точки выколоты, так как неравенства строгие.

График функции изображен ниже:

Ответ: График функции представлен на рисунке выше.

в) опишите свойства функции y = f(x) с помощью построенного графика.

• 1. Область определения функции: $D(f) = [-3; 4)$.

• 2. Область (множество) значений функции: $E(f) = [0; 4] \cup (6; 10)$.

• 3. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = 0$.

• 4. Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in [-3; 0) \cup (0; 4)$.
  Нет значений $x$, при которых $f(x) < 0$.

• 5. Промежутки монотонности:
  - функция постоянна на отрезке $[-3; -1]$;
  - функция убывает на отрезке $[-1; 0]$;
  - функция возрастает на отрезке $[0; 2]$ и на интервале $(2; 4)$.

• 6. Экстремумы функции:
  - Точка минимума: $x_{min} = 0$. Наименьшее значение функции: $y_{min} = f(0) = 0$.
  - Точки локального максимума: все точки $x \in [-3; -1]$. Локальный максимум равен 1.
  - Наибольшего значения функция не достигает.

• 7. Четность, нечетность: Область определения функции не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

• 8. Непрерывность: Функция непрерывна на промежутках $[-3; 2]$ и $(2; 4)$. В точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Свойства функции перечислены в списке выше.