Номер 46.43, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.43 При каких значениях $b$ уравнение $f(x) = b$, где

$f(x) = \begin{cases} x + 6, \text{ если } x \le -2; \\ x^2, \text{ если } -2 < x \le 3, \end{cases}$

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней?

Для решения задачи необходимо определить, сколько раз горизонтальная прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ при различных значениях параметра $b$. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения $f(x)=b$.

Проанализируем и построим график функции $f(x) = \begin{cases} x + 6, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 3 \end{cases}$.

1. На промежутке $(-\infty, -2]$ график функции совпадает с графиком прямой $y=x+6$. Это луч, который проходит через точку $(-2, -2+6) = (-2, 4)$ и уходит влево и вниз. Область значений функции на этом участке: $(-\infty, 4]$.

2. На промежутке $(-2, 3]$ график функции совпадает с графиком параболы $y=x^2$. Это дуга параболы с вершиной в точке $(0,0)$. На концах интервала имеем: при $x \to -2^+$ значение $y \to (-2)^2=4$ (эта точка выколота для данной части), а при $x=3$ значение $y=3^2=9$ (эта точка включена). Область значений функции на этом участке: $[0, 9]$.

Общая область значений функции $f(x)$ — это объединение областей значений ее частей: $(-\infty, 4] \cup [0, 9] = (-\infty, 9]$. Максимальное значение функции равно 9.

Теперь рассмотрим, сколько корней имеет уравнение $f(x)=b$ в зависимости от $b$, анализируя пересечения прямой $y=b$ с построенным графиком.

а) имеет один корень;

Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=b$ пересекает график $y=f(x)$ ровно в одной точке. Это происходит в следующих случаях:
1. Если $b < 0$. В этом случае прямая $y=b$ пересекает только луч $y=x+6$ (так как $x^2 \ge 0$). Уравнение $x+6=b$ имеет единственный корень $x=b-6$, который удовлетворяет условию $x \le -2$.
2. Если $b > 4$ и $b \le 9$, то есть $b \in (4, 9]$. При $b=9$ прямая касается графика в его наивысшей точке $(3, 9)$, корень один: $x=3$. При $4 < b < 9$ прямая пересекает только правую ветвь параболы $y=x^2$ в точке $x = \sqrt{b}$ (так как $2 < \sqrt{b} < 3$, что входит в интервал $(-2, 3]$). Луч $y=x+6$ не пересекается, так как его значения не превышают 4.
Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $b \in (-\infty, 0) \cup (4, 9]$.
Ответ: $b \in (-\infty, 0) \cup (4, 9]$.

б) имеет два корня;

Уравнение имеет два корня, когда прямая $y=b$ пересекает график в двух точках.
1. При $b=4$. Прямая $y=4$ пересекает график в точке $x=-2$ (из части $y=x+6$) и в точке $x=2$ (из части $y=x^2$, так как $x^2=4 \implies x=2$ или $x=-2$; $x=2$ подходит, $x=-2$ не входит в интервал $(-2, 3]$). Итого два корня.
2. При $b=0$. Прямая $y=0$ пересекает параболу в ее вершине $x=0$ и пересекает луч $y=x+6$ при $x=-6$. Итого два корня.
Таким образом, уравнение имеет два корня при $b=0$ и $b=4$.
Ответ: $b \in \{0, 4\}$.

в) имеет три корня;

Уравнение имеет три корня, когда прямая $y=b$ пересекает график в трех точках. Это возможно только при $0 < b < 4$.
В этом случае прямая $y=b$ пересекает:
1. Луч $y=x+6$ в одной точке $x=b-6$ (условие $x \le -2$ выполнено).
2. Параболу $y=x^2$ в двух точках $x=\sqrt{b}$ и $x=-\sqrt{b}$ (так как $0 < b < 4$, то $0 < \sqrt{b} < 2$ и $-2 < -\sqrt{b} < 0$, оба значения попадают в интервал $(-2, 3]$).
Всего получается три корня.
Ответ: $b \in (0, 4)$.

г) не имеет корней?

Уравнение не имеет корней, если прямая $y=b$ не имеет общих точек с графиком $y=f(x)$. Это происходит, когда значение $b$ больше максимального значения функции. Максимальное значение функции $f(x)$ равно 9. Следовательно, при $b>9$ корней нет.
Ответ: $b \in (9, +\infty)$.