Номер 46.44, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.44 При каких значениях $b$ уравнение $f(x) = b$, где

$f(x) = \begin{cases} \frac{x+3}{2}, & \text{если } x \le -1; \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 2, \end{cases}$

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней?

Для решения данной задачи необходимо определить, при каких значениях параметра $b$ уравнение $f(x)=b$ имеет определенное количество корней. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ и горизонтальной прямой $y=b$.

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} \frac{x+3}{2}, & \text{если } x \le -1 \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 2 \end{cases}$

Построим и проанализируем график функции $y=f(x)$:
1. На промежутке $(-\infty, -1]$ график функции $y = \frac{x+3}{2}$ представляет собой луч. Это возрастающая прямая. В граничной точке $x=-1$ имеем $y = \frac{-1+3}{2} = 1$. Таким образом, эта часть графика представляет собой луч, идущий из бесконечности и заканчивающийся в точке $(-1, 1)$. Область значений на этом промежутке: $(-\infty, 1]$.
2. На промежутке $(-1, 2]$ график функции $y = x^2$ является частью параболы. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, которая принадлежит данному интервалу и является точкой локального минимума. При $x \to -1^+$, $y \to (-1)^2=1$. В точке $x=2$ имеем $y = 2^2 = 4$. Область значений на этом промежутке: $[0, 4]$.

Общая область значений функции $E(f)$ является объединением областей значений на этих двух промежутках: $(-\infty, 1] \cup [0, 4] = (-\infty, 4]$.

Теперь, анализируя пересечение графика $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=b$, найдем количество корней в зависимости от $b$.

а) имеет один корень;
Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке. Это происходит в следующих случаях:
1. Прямая $y=b$ лежит ниже локального минимума параболы ($y=0$), то есть при $b < 0$. В этом случае прямая пересекает только луч $y=\frac{x+3}{2}$ в одной точке.
2. Прямая $y=b$ лежит выше точки "стыка" графиков ($y=1$) и доходит до максимального значения функции включительно, то есть при $1 < b \le 4$. В этом диапазоне прямая пересекает только возрастающую часть параболы ($x \in (1, 2]$) в одной точке. При $b=4$ пересечение происходит в точке $(2, 4)$.
Объединяя эти условия, получаем, что уравнение имеет один корень при $b \in (-\infty, 0) \cup (1, 4]$.
Ответ: $b \in (-\infty, 0) \cup (1, 4]$.

б) имеет два корня;
Уравнение имеет два корня, когда прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в двух точках. Это происходит в двух случаях:
1. При $b=0$. Прямая $y=0$ проходит через вершину параболы $(0, 0)$ (один корень $x=0$) и пересекает луч в точке $(-3, 0)$ (второй корень $x=-3$).
2. При $b=1$. Прямая $y=1$ проходит через точку "стыка" $(-1, 1)$ (один корень $x=-1$ от первой части функции) и пересекает параболу в точке $(1, 1)$ (второй корень $x=1$ от второй части функции).
Таким образом, уравнение имеет два корня при $b=0$ и $b=1$.
Ответ: $b=0; b=1$.

в) имеет три корня;
Уравнение имеет три корня, когда прямая $y=b$ пересекает график функции в трех точках. Это происходит, когда значение $b$ находится строго между значением в локальном минимуме ($y=0$) и значением в точке "стыка" ($y=1$), то есть при $0 < b < 1$.
В этом случае прямая $y=b$ пересекает:
- луч $y=\frac{x+3}{2}$ в одной точке;
- параболу $y=x^2$ в двух точках (на участках $(-1, 0)$ и $(0, 1)$).
Таким образом, уравнение имеет три корня при $b \in (0, 1)$.
Ответ: $b \in (0, 1)$.

г) не имеет корней?
Уравнение не имеет корней, когда прямая $y=b$ не имеет ни одной общей точки с графиком функции $y=f(x)$. Это происходит, когда прямая $y=b$ проходит выше максимального значения функции. Максимальное значение функции $f(x)$ равно $4$ (достигается в точке $x=2$). Следовательно, при $b>4$ корней нет.
Ответ: $b \in (4, \infty)$.