Номер 46.47, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.47 Решите графически уравнение:

a) $f(x) = 1$;

б) $f(x) = 4$;

в) $f(x) = 9$;

г) $f(x) = 0$,

где $f(x) = \begin{cases} 0.5x + 5, & \text{если } -10 \le x \le -2; \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 3. \end{cases}$

Для графического решения уравнений вида $f(x) = c$ необходимо построить график функции $y = f(x)$ и найти абсциссы (координаты $x$) точек его пересечения с горизонтальной прямой $y = c$.

В данной задаче функция $f(x)$ является кусочно-заданной:

$f(x) = \begin{cases} 0,5x + 5, & \text{если } -10 \le x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 3 \end{cases}$

Построим график этой функции. Он состоит из двух частей.

1. На отрезке $[-10, -2]$ график совпадает с графиком линейной функции $y = 0,5x + 5$. Это отрезок прямой. Для его построения найдем координаты конечных точек:

   • Если $x = -10$, то $y = 0,5 \cdot (-10) + 5 = -5 + 5 = 0$. Получаем точку $(-10, 0)$.

   • Если $x = -2$, то $y = 0,5 \cdot (-2) + 5 = -1 + 5 = 4$. Получаем точку $(-2, 4)$.

2. На полуинтервале $(-2, 3]$ график совпадает с графиком квадратичной функции $y = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$.

   • На левой границе, при $x \to -2$, значение функции стремится к $(-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ не входит в эту часть графика (обозначается выколотой), но она является конечной точкой для первой части, поэтому функция в точке $x = -2$ непрерывна и $f(-2)=4$.

   • На правой границе, при $x = 3$, значение функции равно $3^2 = 9$. Получаем точку $(3, 9)$.

Теперь, используя построенный график, решим каждое уравнение.

а) $f(x) = 1$;

Нам нужно найти абсциссы точек пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=1$. Видно, что таких точек пересечения три. Найдем их точные координаты, решив соответствующие уравнения.

1) Для участка $[-10, -2]$: $0,5x + 5 = 1 \implies 0,5x = -4 \implies x = -8$. Корень $x = -8$ принадлежит отрезку $[-10, -2]$.

2) Для участка $(-2, 3]$: $x^2 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$. Оба корня принадлежат интервалу $(-2, 3]$.

Уравнение имеет три решения.

Ответ: $-8; -1; 1$.

б) $f(x) = 4$;

Ищем точки пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=4$. Таких точек две.

1) Для участка $[-10, -2]$: $0,5x + 5 = 4 \implies 0,5x = -1 \implies x = -2$. Корень $x = -2$ принадлежит отрезку $[-10, -2]$.

2) Для участка $(-2, 3]$: $x^2 = 4 \implies x = 2$ или $x = -2$. Корень $x=2$ принадлежит интервалу $(-2, 3]$. Корень $x=-2$ не принадлежит этому интервалу, но он уже найден как решение на первом участке (это точка "стыка" двух графиков).

Уравнение имеет два решения.

Ответ: $-2; 2$.

в) $f(x) = 9$;

Ищем точки пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=9$. Такая точка одна.

1) Для участка $[-10, -2]$: $0,5x + 5 = 9 \implies 0,5x = 4 \implies x = 8$. Корень $x=8$ не принадлежит отрезку $[-10, -2]$, поэтому на этом участке решений нет.

2) Для участка $(-2, 3]$: $x^2 = 9 \implies x = 3$ или $x = -3$. Корень $x=3$ принадлежит интервалу $(-2, 3]$. Корень $x=-3$ не принадлежит этому интервалу.

Уравнение имеет одно решение.

Ответ: $3$.

г) $f(x) = 0$,

Ищем точки пересечения графика $y=f(x)$ с прямой $y=0$ (осью абсцисс $Ox$). Таких точек две.

1) Для участка $[-10, -2]$: $0,5x + 5 = 0 \implies 0,5x = -5 \implies x = -10$. Корень $x=-10$ принадлежит отрезку $[-10, -2]$.

2) Для участка $(-2, 3]$: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Корень $x=0$ принадлежит интервалу $(-2, 3]$.

Уравнение имеет два решения.

Ответ: $-10; 0$.