Номер 47.4, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

47.4 Постройте прямоугольник с вершинами в точках $A(-2; 0)$, $B(-2; 4)$, $C(2; 4)$, $D(2; 0)$.

а) Сколько точек, у которых обе координаты — целые числа, принадлежит полученному прямоугольнику (включая его границы)?

б) Изобразите часть графика функции $y = x^2$, которая принадлежит этому прямоугольнику.

в) Сколько точек из пункта а) лежит ниже графика; на графике; выше графика? Заполните таблицу распределения точек:

а) Прямоугольник ABCD с вершинами A(-2; 0), B(-2; 4), C(2; 4), D(2; 0) ограничен вертикальными линиями $x=-2$ и $x=2$ и горизонтальными линиями $y=0$ и $y=4$. Точка с целыми координатами $(x, y)$ принадлежит этому прямоугольнику, если её координаты являются целыми числами и удовлетворяют следующим неравенствам:

$-2 \le x \le 2$

$0 \le y \le 4$

Найдем количество целых значений для каждой координаты в указанных диапазонах:

Возможные целые значения для координаты $x$: -2, -1, 0, 1, 2. Всего 5 различных значений.

Возможные целые значения для координаты $y$: 0, 1, 2, 3, 4. Всего 5 различных значений.

Общее количество точек с целыми координатами внутри прямоугольника и на его границах равно произведению количества возможных значений для $x$ и $y$:

$5 \times 5 = 25$

Ответ: 25 точек.

б) График функции $y = x^2$ — это парабола, симметричная относительно оси OY, с вершиной в начале координат (0; 0) и ветвями, направленными вверх. Нам нужно изобразить ту часть параболы, которая находится внутри прямоугольника, заданного условиями $-2 \le x \le 2$ и $0 \le y \le 4$.

Проверим, где находится парабола относительно границ прямоугольника. Вершина параболы (0; 0) лежит на нижней границе прямоугольника (отрезок AD). При $x=-2$, $y=(-2)^2=4$. Точка (-2; 4) совпадает с вершиной B прямоугольника. При $x=2$, $y=(2)^2=4$. Точка (2; 4) совпадает с вершиной C прямоугольника. Для любого $x$ в интервале $(-2; 2)$, значение $x^2$ будет меньше 4, то есть $0 \le x^2 \le 4$. Таким образом, вся часть параболы на отрезке $x \in [-2, 2]$ целиком лежит внутри заданного прямоугольника.

Ответ: Часть графика, принадлежащая прямоугольнику, — это дуга параболы $y = x^2$, которая соединяет точки B(-2; 4) и C(2; 4) и проходит через начало координат O(0; 0).

в) Нам нужно классифицировать все 25 точек с целыми координатами из пункта а) относительно графика функции $y = x^2$. Точка $(x_0, y_0)$ находится:

• Ниже графика, если $y_0 < x_0^2$.
• На графике, если $y_0 = x_0^2$.
• Выше графика, если $y_0 > x_0^2$.

Проанализируем точки для каждого целого $x$ из отрезка $[-2, 2]$.

Точки на графике ($y = x^2$):

Ищем целочисленные решения уравнения в границах прямоугольника.

• $x = -2 \implies y = (-2)^2 = 4$. Точка (-2; 4).
• $x = -1 \implies y = (-1)^2 = 1$. Точка (-1; 1).
• $x = 0 \implies y = 0^2 = 0$. Точка (0; 0).
• $x = 1 \implies y = 1^2 = 1$. Точка (1; 1).
• $x = 2 \implies y = 2^2 = 4$. Точка (2; 4).

Итого 5 точек лежат на графике.

Точки ниже графика ($y < x^2$):

• При $x = -2$ ($x^2 = 4$), $y < 4$: $y \in \{0, 1, 2, 3\}$. (4 точки)
• При $x = -1$ ($x^2 = 1$), $y < 1$: $y \in \{0\}$. (1 точка)
• При $x = 0$ ($x^2 = 0$), $y < 0$: нет таких $y$. (0 точек)
• При $x = 1$ ($x^2 = 1$), $y < 1$: $y \in \{0\}$. (1 точка)
• При $x = 2$ ($x^2 = 4$), $y < 4$: $y \in \{0, 1, 2, 3\}$. (4 точки)

Всего ниже графика: $4 + 1 + 0 + 1 + 4 = \textbf{10 точек}$.

Точки выше графика ($y > x^2$):

Количество этих точек можно найти, вычтя из общего числа точек те, что на графике и ниже: $25 - 5 - 10 = 10$. Проверим прямым подсчетом:

• При $x = -2$ ($x^2 = 4$), $y > 4$: нет таких $y$. (0 точек)
• При $x = -1$ ($x^2 = 1$), $y > 1$: $y \in \{2, 3, 4\}$. (3 точки)
• При $x = 0$ ($x^2 = 0$), $y > 0$: $y \in \{1, 2, 3, 4\}$. (4 точки)
• При $x = 1$ ($x^2 = 1$), $y > 1$: $y \in \{2, 3, 4\}$. (3 точки)
• При $x = 2$ ($x^2 = 4$), $y > 4$: нет таких $y$. (0 точек)

Всего выше графика: $0 + 3 + 4 + 3 + 0 = \textbf{10 точек}$.

Заполненная таблица распределения точек:

Ответ: Ниже графика — 10 точек, на графике — 5 точек, выше графика — 10 точек.