Номер 2, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 8. Функция у = х^2. Домашняя контрольная работа № 8. Вариант 1 - номер 2, страница 214.

Условие.

2 Постройте график функции $y = x^2$ и с его помощью найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке:

а) $[-2; 3];$

б) $(-3; 1];$

в) $(-\infty; -1].$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Сначала построим график функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

Соединив точки плавной кривой, получаем график параболы. Теперь, анализируя график, найдём наименьшее и наибольшее значения функции на указанных промежутках.

а) На промежутке $[-2; 3]$.

Этот отрезок включает в себя вершину параболы $x=0$. Поскольку вершина является самой низкой точкой параболы, наименьшее значение функции на данном отрезке будет в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка, в точке, наиболее удаленной от вершины. Сравним значения функции в точках $x=-2$ и $x=3$:
$y(-2) = (-2)^2 = 4$
$y(3) = 3^2 = 9$

Наибольшее из этих значений равно 9.
$y_{наиб} = y(3) = 9$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = 9$.

б) На промежутке $(-3; 1]$.

Этот промежуток также включает вершину параболы $x=0$, поэтому наименьшее значение функции достигается в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Для определения наибольшего значения рассмотрим поведение функции на концах промежутка. Правый конец $x=1$ принадлежит промежутку, значение функции в этой точке $y(1) = 1^2 = 1$. Левый конец $x=-3$ не принадлежит промежутку (круглая скобка). При приближении $x$ к $-3$, значение $y$ стремится к $(-3)^2 = 9$, но никогда его не достигает. Следовательно, на данном промежутке функция не имеет наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшего значения не существует.

в) На промежутке $(-\infty; -1]$.

На этом промежутке, который представляет собой часть левой ветви параболы, функция $y=x^2$ является монотонно убывающей. Это означает, что чем больше значение $x$, тем меньше значение $y$.

Следовательно, наименьшее значение на этом промежутке будет достигаться в самой правой его точке, то есть при $x=-1$.
$y_{наим} = y(-1) = (-1)^2 = 1$.

Когда $x$ стремится к $-\infty$, значение $y=x^2$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Таким образом, функция не ограничена сверху на этом промежутке, и наибольшего значения у неё не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 1$, наибольшего значения не существует.