Номер 9, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 8. Функция у = х^2. Домашняя контрольная работа № 8. Вариант 1 - номер 9, страница 214.

Условие.

9 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } -4 \le x < -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2; \\ -2 - x, & \text{если } 2 < x \le 5. \end{cases}$

Используя построенный график функций, установите:

а) какова область определения функции $y = f(x)$;

б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;

в) является ли функция непрерывной;

г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;

д) где функция возрастает, где убывает.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Сначала построим график кусочно-заданной функции $y = f(x)$.

1. На промежутке $[-4, -1)$ функция задается формулой $y = -1$. Это горизонтальный отрезок прямой, параллельной оси Ox. Точка $(-4, -1)$ принадлежит графику (закрашенная), а точка $(-1, -1)$ не принадлежит (выколотая).

2. На промежутке $[-1, 2]$ функция задается формулой $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значения на концах промежутка: $f(-1) = -(-1)^2 = -1$ и $f(2) = -(2)^2 = -4$. Точки $(-1, -1)$ и $(2, -4)$ принадлежат графику (закрашенные).

3. На промежутке $(2, 5]$ функция задается формулой $y = -2 - x$. Это часть прямой. Найдем значения на концах промежутка: при $x=2$ получаем $y = -2 - 2 = -4$ (точка $(2, -4)$ выколотая, так как $x > 2$), а при $x=5$ получаем $y = -2 - 5 = -7$ (точка $(5, -7)$ закрашенная).

Соединив все части, получим график функции. Теперь, используя график, ответим на вопросы.

а) какова область определения функции y = f(x)

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Функция задана на трех промежутках: $[-4, -1)$, $[-1, 2]$ и $(2, 5]$. Объединяя эти промежутки, получаем единый промежуток от $-4$ до $5$ включительно.
$D(f) = [-4, -1) \cup [-1, 2] \cup (2, 5] = [-4, 5]$.
Ответ: область определения функции $D(f) = [-4, 5]$.

б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции

Наибольшее и наименьшее значения функции — это экстремальные значения, которые функция принимает на своей области определения. Анализируя построенный график, видим, что самая высокая точка графика — это $(0, 0)$, а самая низкая — $(5, -7)$.
Следовательно, наибольшее значение функции равно $0$, а наименьшее равно $-7$.
Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -7$; наибольшее значение функции $y_{max} = 0$.

в) является ли функция непрерывной

Функция является непрерывной, если ее график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Проверим точки "стыка" участков: $x = -1$ и $x = 2$.
При $x \to -1$ слева: $y \to -1$.
В точке $x = -1$: $y = -(-1)^2 = -1$.
При $x \to -1$ справа: $y \to -(-1)^2 = -1$.
Так как пределы слева, справа и значение в точке совпадают, в точке $x = -1$ разрыва нет.
При $x \to 2$ слева: $y \to -(2)^2 = -4$.
В точке $x = 2$: $y = -(2)^2 = -4$.
При $x \to 2$ справа: $y \to -2 - 2 = -4$.
В точке $x = 2$ пределы и значение также совпадают, разрыва нет.
На каждом из интервалов функция задана элементарными непрерывными функциями.
Ответ: да, функция является непрерывной на всей области определения.

г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля

Проанализируем значения $y$ на графике.
- Значение функции равно нулю ($f(x) = 0$): это происходит в точке, где график пересекает ось Ox. Из графика видно, что это точка $(0, 0)$. Следовательно, $f(x) = 0$ при $x = 0$.
- Значение функции больше нуля ($f(x) > 0$): это происходит там, где график лежит выше оси Ox. Наш график нигде не находится выше оси Ox. Следовательно, таких значений $x$ нет.
- Значение функции меньше нуля ($f(x) < 0$): это происходит там, где график лежит ниже оси Ox. Это выполняется для всех $x$ из области определения, кроме точки $x=0$. То есть на промежутках $[-4, 0)$ и $(0, 5]$.
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) > 0$ ни при каких $x$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4, 0) \cup (0, 5]$.

д) где функция возрастает, где убывает

Проанализируем поведение функции на каждом участке, двигаясь слева направо по оси Ox.
- На промежутке $[-4, -1)$ функция постоянна ($y = -1$).
- На промежутке $[-1, 0]$ график идет вверх, значит, функция возрастает.
- На промежутке $[0, 2]$ график идет вниз, функция убывает.
- На промежутке $(2, 5]$ график также идет вниз, функция убывает.
Поскольку в точке $x=2$ функция непрерывна, можно объединить промежутки убывания.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 0]$; функция убывает на промежутке $[0, 5]$; функция постоянна на промежутке $[-4, -1)$.