Номер 10, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 8. Функция у = х^2. Домашняя контрольная работа № 8. Вариант 1 - номер 10, страница 215.

Условие.

10 Постройте график функции $y = \frac{2x^2 - x^3}{x - 2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = \frac{2x^2 - x^3}{x - 2}$ проведем ее пошаговый анализ.

1. Нахождение области определения

Данная функция является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому необходимо исключить из области определения значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль.

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x = 2$. Записывается это так: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упрощение выражения функции

Чтобы упростить функцию, разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель $-x^2$ за скобки:

$2x^2 - x^3 = -x^2(-2 + x) = -x^2(x - 2)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную функцию:

$y = \frac{-x^2(x - 2)}{x - 2}$

При условии, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 2)$:

$y = -x^2$

Это означает, что график исходной функции полностью совпадает с графиком параболы $y = -x^2$, за исключением одной точки.

3. Анализ точки разрыва

Мы выяснили, что в точке $x = 2$ функция не определена. Такая точка называется точкой разрыва. Поскольку мы смогли сократить множитель $(x - 2)$, который создавал неопределенность, этот разрыв является устранимым. На графике это будет выглядеть как "выколотая" точка (пустой кружок).

Чтобы найти координаты этой точки, подставим значение $x = 2$ в упрощенную функцию $y = -x^2$:

$y = -(2)^2 = -4$

Следовательно, точка с координатами $(2; -4)$ не принадлежит графику функции.

4. Построение графика

Теперь мы можем построить график. Он представляет собой параболу $y = -x^2$ с "выколотой" точкой $(2; -4)$.

Основные характеристики параболы $y = -x^2$:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
• Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный.
• Парабола симметрична относительно оси OY.

Построим параболу, не забывая отметить выколотую точку:

На графике изображена парабола $y = -x^2$, проходящая через начало координат, и показана выколотая точка $(2; -4)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{2x^2 - x^3}{x - 2}$ является парабола $y = -x^2$ с выколотой точкой $(2; -4)$.