Номер 2, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 8. Функция у = х^2. Домашняя контрольная работа № 8. Вариант 2 - номер 2, страница 215.

Условие.

2 Постройте график функции $y = -x^2$ и с его помощью найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке:

а) $[ -3; 1 ]$;

б) $[ -2; 2 )$;

в) $( -\infty; -1 )$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для решения задачи построим график функции $y = -x^2$ и проанализируем его.

График функции $y = -x^2$ — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$. Эта точка является точкой глобального максимума функции.

Составим таблицу значений для построения графика:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y = -x^2$	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

Используя график и свойства функции, найдем ее наименьшее и наибольшее значения на заданных промежутках.

а) На отрезке $[-3; 1]$.
Данный отрезок содержит точку $x=0$, в которой находится вершина параболы. Поскольку ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения на отрезке. $y_{наибольшее} = y(0) = -0^2 = 0$.
Наименьшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(-3) = -(-3)^2 = -9$
$y(1) = -(1)^2 = -1$
Сравнивая эти два значения, видим, что наименьшее из них равно $-9$.
Ответ: $y_{наибольшее} = 0$, $y_{наименьшее} = -9$.

б) На промежутке $[-2; 2)$.
Этот промежуток также содержит вершину параболы $x=0$, поэтому наибольшее значение функции здесь также равно $0$. $y_{наибольшее} = y(0) = 0$.
Для нахождения наименьшего значения рассмотрим значения на границах промежутка. В точке $x=-2$ (которая входит в промежуток) значение функции равно $y(-2) = -(-2)^2 = -4$. Правая граница $x=2$ в промежуток не входит, но по мере приближения $x$ к $2$, значение $y$ стремится к $y(2) = -(2)^2 = -4$. Так как парабола симметрична относительно оси OY, а точка $x=-2$ принадлежит промежутку, то наименьшее значение функции на данном промежутке достигается и равно $-4$.
Ответ: $y_{наибольшее} = 0$, $y_{наименьшее} = -4$.

в) На промежутке $(-\infty; -1)$.
На этом интервале функция $y = -x^2$ является строго возрастающей. Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y$ также стремится к $-\infty$. Следовательно, наименьшего значения у функции на этом промежутке не существует.
Когда $x$ стремится к $-1$ (слева), $y$ стремится к $y(-1) = -(-1)^2 = -1$. Но так как точка $x=-1$ не принадлежит интервалу, функция никогда не достигает значения $-1$. Следовательно, наибольшего значения на данном промежутке также не существует.
Ответ: На данном промежутке функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.