Номер 9, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 8. Функция у = х^2. Домашняя контрольная работа № 8. Вариант 2 - номер 9, страница 216.

Условие.

9. Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } -3 \le x < -1; \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2; \\ 4, & \text{если } 2 < x \le 8. \end{cases}$

Используя построенный график функций, установите:

a) какова область определения функции $y = f(x)$;

б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;

в) является ли функция непрерывной;

г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;

д) где функция возрастает, где убывает.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Сначала построим график кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } -3 \le x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2 \\ 4, & \text{если } 2 < x \le 8 \end{cases}$

1. На промежутке $[-3, -1)$ строим график функции $y = 2 - x$. Это часть прямой. Найдем значения на концах: при $x = -3, y = 2 - (-3) = 5$. Точка $(-3, 5)$ принадлежит графику. При $x = -1, y = 2 - (-1) = 3$. Точка $(-1, 3)$ не принадлежит графику (на графике она будет "выколотой").
2. На отрезке $[-1, 2]$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значения на концах: при $x = -1, y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику. При $x = 2, y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику.
3. На полуинтервале $(2, 8]$ строим график функции $y = 4$. Это отрезок горизонтальной прямой. Точка $(2, 4)$ не принадлежит этому участку графика (она "выколотая", но уже включена в предыдущем шаге), а точка $(8, 4)$ принадлежит.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

а) какова область определения функции $y = f(x)$;

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Функция задана на объединении промежутков $[-3, -1)$, $[-1, 2]$ и $(2, 8]$.

Объединяя эти промежутки, получаем: $[-3, -1) \cup [-1, 2] \cup (2, 8] = [-3, 8]$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = [-3, 8]$.

б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции проанализируем поведение функции на каждом из участков.

• На промежутке $[-3, -1)$ функция $y = 2 - x$ убывает. Наибольшее значение достигается при $x = -3$ и равно $f(-3) = 5$. Значения функции на этом участке лежат в промежутке $(3, 5]$.
• На отрезке $[-1, 2]$ функция $y = x^2$. Наименьшее значение достигается в вершине параболы при $x = 0$ и равно $f(0) = 0$. Наибольшее значение на этом отрезке достигается при $x = 2$ и равно $f(2) = 4$. Значения функции на этом участке лежат в промежутке $[0, 4]$.
• На полуинтервале $(2, 8]$ функция постоянна и равна 4.

Объединив все возможные значения функции, получаем область значений $E(f) = [0, 5]$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение функции равно 5.

в) является ли функция непрерывной;

Функция является непрерывной, если ее график можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги. Проверим точки "стыка" участков: $x = -1$ и $x = 2$.

• В точке $x = -1$: Предел слева: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (2 - x) = 3$. Значение функции в точке: $f(-1) = (-1)^2 = 1$. Поскольку предел слева не равен значению функции в точке ($3 \neq 1$), функция имеет разрыв в точке $x = -1$.
• В точке $x = 2$: Предел слева: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4$. Предел справа: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 4 = 4$. Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 = 4$. Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке, в точке $x=2$ функция непрерывна.

Так как функция имеет разрыв в точке $x = -1$, она не является непрерывной на всей области определения.

Ответ: Функция не является непрерывной.

г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;

1. Найдем, где $f(x) = 0$.

• На $[-3, -1)$: $2 - x = 0 \implies x = 2$. Это значение не входит в промежуток.
• На $[-1, 2]$: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Это значение входит в отрезок.
• На $(2, 8]$: $4 = 0$. Решений нет.

Значение функции равно нулю при $x = 0$.

2. Найдем, где $f(x) > 0$.

• На $[-3, -1)$: $2 - x > 0 \implies x < 2$. Все значения из этого промежутка удовлетворяют условию.
• На $[-1, 2]$: $x^2 > 0 \implies x \ne 0$. Учитывая отрезок, получаем $x \in [-1, 0) \cup (0, 2]$.
• На $(2, 8]$: $4 > 0$. Все значения из этого промежутка удовлетворяют условию.

Объединяя все промежутки, получаем, что $f(x) > 0$ при $x \in [-3, 0) \cup (0, 8]$.

3. Найдем, где $f(x) < 0$.

• На $[-3, -1)$: $2 - x < 0 \implies x > 2$. Нет таких значений в промежутке.
• На $[-1, 2]$: $x^2 < 0$. Решений нет.
• На $(2, 8]$: $4 < 0$. Решений нет.

Нет таких значений аргумента, при которых функция была бы меньше нуля.

Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) > 0$ при $x \in [-3, 0) \cup (0, 8]$; нет значений $x$, при которых $f(x) < 0$.

д) где функция возрастает, где убывает.

Проанализируем поведение функции на каждом участке.

• На промежутке $[-3, -1)$ функция $y = 2-x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом (равным -1), следовательно, она убывает на всем этом промежутке.
• На отрезке $[-1, 2]$ дана функция $y = x^2$. Эта парабола убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$. Значит, на отрезке $[-1, 0]$ функция убывает, а на отрезке $[0, 2]$ — возрастает.
• На полуинтервале $(2, 8]$ функция $y = 4$ постоянна.

Соберем информацию:

• Функция убывает на промежутках $[-3, -1)$ и $[-1, 0]$.
• Функция возрастает на отрезке $[0, 2]$.
• Функция постоянна на промежутке $(2, 8]$.

Ответ: Функция убывает при $x \in [-3, -1)$ и $x \in [-1, 0]$; функция возрастает при $x \in [0, 2]$; функция постоянна при $x \in (2, 8]$.