Номер 9, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04640-0
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вариант 2. Домашняя контрольная работа № 8. Глава 8. Функция у = х^2. Часть 2 - номер 9, страница 216.
№9 (с. 216)
Условие. №9 (с. 216)
скриншот условия

9. Постройте график функции $y = f(x)$, где
$f(x) = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } -3 \le x < -1; \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2; \\ 4, & \text{если } 2 < x \le 8. \end{cases}$
Используя построенный график функций, установите:
a) какова область определения функции $y = f(x)$;
б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
в) является ли функция непрерывной;
г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
д) где функция возрастает, где убывает.
Решение 1. №9 (с. 216)





Решение 3. №9 (с. 216)

Решение 4. №9 (с. 216)

Решение 5. №9 (с. 216)

Решение 8. №9 (с. 216)
Сначала построим график кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } -3 \le x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2 \\ 4, & \text{если } 2 < x \le 8 \end{cases}$
- На промежутке $[-3, -1)$ строим график функции $y = 2 - x$. Это часть прямой. Найдем значения на концах: при $x = -3, y = 2 - (-3) = 5$. Точка $(-3, 5)$ принадлежит графику. При $x = -1, y = 2 - (-1) = 3$. Точка $(-1, 3)$ не принадлежит графику (на графике она будет "выколотой").
- На отрезке $[-1, 2]$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значения на концах: при $x = -1, y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику. При $x = 2, y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику.
- На полуинтервале $(2, 8]$ строим график функции $y = 4$. Это отрезок горизонтальной прямой. Точка $(2, 4)$ не принадлежит этому участку графика (она "выколотая", но уже включена в предыдущем шаге), а точка $(8, 4)$ принадлежит.
Используя построенный график, ответим на вопросы.
а) какова область определения функции $y = f(x)$;
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Функция задана на объединении промежутков $[-3, -1)$, $[-1, 2]$ и $(2, 8]$.
Объединяя эти промежутки, получаем: $[-3, -1) \cup [-1, 2] \cup (2, 8] = [-3, 8]$.
Ответ: Область определения функции $D(f) = [-3, 8]$.
б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции проанализируем поведение функции на каждом из участков.
- На промежутке $[-3, -1)$ функция $y = 2 - x$ убывает. Наибольшее значение достигается при $x = -3$ и равно $f(-3) = 5$. Значения функции на этом участке лежат в промежутке $(3, 5]$.
- На отрезке $[-1, 2]$ функция $y = x^2$. Наименьшее значение достигается в вершине параболы при $x = 0$ и равно $f(0) = 0$. Наибольшее значение на этом отрезке достигается при $x = 2$ и равно $f(2) = 4$. Значения функции на этом участке лежат в промежутке $[0, 4]$.
- На полуинтервале $(2, 8]$ функция постоянна и равна 4.
Объединив все возможные значения функции, получаем область значений $E(f) = [0, 5]$.
Ответ: Наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение функции равно 5.
в) является ли функция непрерывной;
Функция является непрерывной, если ее график можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги. Проверим точки "стыка" участков: $x = -1$ и $x = 2$.
- В точке $x = -1$: Предел слева: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (2 - x) = 3$. Значение функции в точке: $f(-1) = (-1)^2 = 1$. Поскольку предел слева не равен значению функции в точке ($3 \neq 1$), функция имеет разрыв в точке $x = -1$.
- В точке $x = 2$: Предел слева: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4$. Предел справа: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 4 = 4$. Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 = 4$. Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке, в точке $x=2$ функция непрерывна.
Так как функция имеет разрыв в точке $x = -1$, она не является непрерывной на всей области определения.
Ответ: Функция не является непрерывной.
г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
1. Найдем, где $f(x) = 0$.
- На $[-3, -1)$: $2 - x = 0 \implies x = 2$. Это значение не входит в промежуток.
- На $[-1, 2]$: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Это значение входит в отрезок.
- На $(2, 8]$: $4 = 0$. Решений нет.
Значение функции равно нулю при $x = 0$.
2. Найдем, где $f(x) > 0$.
- На $[-3, -1)$: $2 - x > 0 \implies x < 2$. Все значения из этого промежутка удовлетворяют условию.
- На $[-1, 2]$: $x^2 > 0 \implies x \ne 0$. Учитывая отрезок, получаем $x \in [-1, 0) \cup (0, 2]$.
- На $(2, 8]$: $4 > 0$. Все значения из этого промежутка удовлетворяют условию.
Объединяя все промежутки, получаем, что $f(x) > 0$ при $x \in [-3, 0) \cup (0, 8]$.
3. Найдем, где $f(x) < 0$.
- На $[-3, -1)$: $2 - x < 0 \implies x > 2$. Нет таких значений в промежутке.
- На $[-1, 2]$: $x^2 < 0$. Решений нет.
- На $(2, 8]$: $4 < 0$. Решений нет.
Нет таких значений аргумента, при которых функция была бы меньше нуля.
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) > 0$ при $x \in [-3, 0) \cup (0, 8]$; нет значений $x$, при которых $f(x) < 0$.
д) где функция возрастает, где убывает.
Проанализируем поведение функции на каждом участке.
- На промежутке $[-3, -1)$ функция $y = 2-x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом (равным -1), следовательно, она убывает на всем этом промежутке.
- На отрезке $[-1, 2]$ дана функция $y = x^2$. Эта парабола убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$. Значит, на отрезке $[-1, 0]$ функция убывает, а на отрезке $[0, 2]$ — возрастает.
- На полуинтервале $(2, 8]$ функция $y = 4$ постоянна.
Соберем информацию:
- Функция убывает на промежутках $[-3, -1)$ и $[-1, 0]$.
- Функция возрастает на отрезке $[0, 2]$.
- Функция постоянна на промежутке $(2, 8]$.
Ответ: Функция убывает при $x \in [-3, -1)$ и $x \in [-1, 0]$; функция возрастает при $x \in [0, 2]$; функция постоянна при $x \in (2, 8]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 216 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9 (с. 216), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) учебного пособия издательства Мнемозина.