Номер 2, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 2, страница 217.

Условие.

2 а) Изобразите на координатной плоскости точку A$(-3; 3)$ и прямую $x = -2$. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

б) Изобразите на координатной плоскости точку C$(4; -2)$ и прямую $y = 1$. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Изобразите на координатной плоскости точку А(-3; 3) и прямую x = -2. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

Для нахождения точки $A'(x'; y')$, симметричной точке $A(-3; 3)$ относительно прямой $x = -2$, воспользуемся свойствами осевой симметрии.

Прямая $x = -2$ — это вертикальная прямая. При симметрии относительно вертикальной прямой $x = c$:

• Ордината (координата $y$) точки не меняется.
• Отрезок, соединяющий исходную точку и симметричную ей, перпендикулярен оси симметрии (то есть является горизонтальным).
• Расстояние от исходной точки до оси симметрии равно расстоянию от симметричной точки до оси симметрии.

1. Так как ордината не меняется, координата $y$ точки $A'$ будет такой же, как у точки $A$: $y' = y_A = 3$.

2. Найдем абсциссу $x'$. Прямая $x = -2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что абсцисса прямой $x = -2$ является средним арифметическим абсцисс точек $A$ и $A'$.

Запишем формулу для координаты $x$ середины отрезка: $x_{оси} = \frac{x_A + x'}{2}$

Подставим известные значения: $x_{оси} = -2$ и $x_A = -3$. $-2 = \frac{-3 + x'}{2}$

Решим уравнение относительно $x'$: $-2 \cdot 2 = -3 + x'$
$-4 = -3 + x'$
$x' = -4 + 3$
$x' = -1$

Следовательно, координаты симметричной точки $A'$ равны $(-1; 3)$.

Ответ: $(-1; 3)$

б) Изобразите на координатной плоскости точку C(4; -2) и прямую y = 1. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

Для нахождения точки $C'(x'; y')$, симметричной точке $C(4; -2)$ относительно прямой $y = 1$, воспользуемся теми же свойствами осевой симметрии.

Прямая $y = 1$ — это горизонтальная прямая. При симметрии относительно горизонтальной прямой $y = d$:

• Абсцисса (координата $x$) точки не меняется.
• Отрезок, соединяющий исходную точку и симметричную ей, перпендикулярен оси симметрии (то есть является вертикальным).
• Расстояние от исходной точки до оси симметрии равно расстоянию от симметричной точки до оси симметрии.

1. Так как абсцисса не меняется, координата $x$ точки $C'$ будет такой же, как у точки $C$: $x' = x_C = 4$.

2. Найдем ординату $y'$. Прямая $y = 1$ является серединным перпендикуляром к отрезку $CC'$. Это означает, что ордината прямой $y = 1$ является средним арифметическим ординат точек $C$ и $C'$.

Запишем формулу для координаты $y$ середины отрезка: $y_{оси} = \frac{y_C + y'}{2}$

Подставим известные значения: $y_{оси} = 1$ и $y_C = -2$. $1 = \frac{-2 + y'}{2}$

Решим уравнение относительно $y'$: $1 \cdot 2 = -2 + y'$
$2 = -2 + y'$
$y' = 2 + 2$
$y' = 4$

Следовательно, координаты симметричной точки $C'$ равны $(4; 4)$.

Ответ: $(4; 4)$