Номер 3, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 3, страница 217.

Условие.

3 а) Даны точки $A(-1; 4)$ и $B(-1; 8)$. Найдите прямую, которая является осью симметрии для этих двух точек. Отметьте точку $C(-2; 5)$ и найдите точку, симметричную ей относительно найденной прямой. Укажите ещё одну пару симметричных точек.

б) Даны точки $K(1; 5)$ и $L(-3; 5)$. Найдите прямую, которая является осью симметрии для этих двух точек. Отметьте точку $F(3; 7)$ и найдите точку, симметричную ей относительно найденной прямой. Укажите ещё одну пару симметричных точек.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Даны точки A(-1; 4) и B(-1; 8). Осью симметрии для двух точек является прямая, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину (серединный перпендикуляр).

1. Найдем координаты середины M отрезка AB. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-1 + (-1)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Таким образом, точка M имеет координаты (-1; 6).

2. Определим уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Так как абсциссы (координаты x) точек A и B одинаковы и равны -1, то отрезок AB лежит на вертикальной прямой, уравнение которой $x = -1$.

3. Ось симметрии перпендикулярна прямой AB и проходит через ее середину M(-1; 6). Прямая, перпендикулярная вертикальной прямой $x = -1$, является горизонтальной. Уравнение горизонтальной прямой, проходящей через точку с ординатой 6, имеет вид $y = 6$.
Итак, искомая ось симметрии — это прямая $y = 6$.

4. Теперь найдем точку C', симметричную точке C(-2; 5) относительно прямой $y = 6$.
При симметрии относительно горизонтальной прямой $y = const$ абсцисса точки сохраняется, а новая ордината находится из условия, что ось симметрии является серединой отрезка, соединяющего исходную и симметричную точки. Пусть C' имеет координаты $(x_{C'}, y_{C'})$.
$x_{C'} = x_C = -2$.
Ордината $y = 6$ должна быть средним арифметическим ординат точек C и C':
$\frac{y_C + y_{C'}}{2} = 6$
$\frac{5 + y_{C'}}{2} = 6$
$5 + y_{C'} = 12$
$y_{C'} = 7$
Следовательно, координаты симметричной точки C'(-2; 7).

5. Укажем еще одну пару симметричных точек относительно прямой $y = 6$. Возьмем любую точку, не лежащую на оси симметрии, например, P(1; 2). Найдем симметричную ей точку P'. Ее абсцисса будет такой же, $x_{P'} = 1$. Найдем ординату:
$\frac{2 + y_{P'}}{2} = 6 \implies 2 + y_{P'} = 12 \implies y_{P'} = 10$.
Значит, точки P(1; 2) и P'(1; 10) являются еще одной парой симметричных точек.

Ответ: Ось симметрии: $y = 6$. Точка, симметричная C(-2; 5) — это точка C'(-2; 7). Пример другой пары симметричных точек: (1; 2) и (1; 10).

б)

Даны точки K(1; 5) и L(-3; 5). Найдем ось симметрии как серединный перпендикуляр к отрезку KL.

1. Найдем координаты середины M отрезка KL:
$x_M = \frac{x_K + x_L}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_M = \frac{y_K + y_L}{2} = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Координаты середины M(-1; 5).

2. Определим уравнение прямой, проходящей через точки K и L. Так как ординаты (координаты y) точек K и L одинаковы и равны 5, то отрезок KL лежит на горизонтальной прямой, уравнение которой $y = 5$.

3. Ось симметрии перпендикулярна прямой KL и проходит через ее середину M(-1; 5). Прямая, перпендикулярная горизонтальной прямой $y = 5$, является вертикальной. Уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой -1, имеет вид $x = -1$.
Итак, искомая ось симметрии — это прямая $x = -1$.

4. Теперь найдем точку F', симметричную точке F(3; 7) относительно прямой $x = -1$.
При симметрии относительно вертикальной прямой $x = const$ ордината точки сохраняется, а новая абсцисса находится из условия, что ось симметрии является серединой отрезка, соединяющего исходную и симметричную точки. Пусть F' имеет координаты $(x_{F'}, y_{F'})$.
$y_{F'} = y_F = 7$.
Абсцисса $x = -1$ должна быть средним арифметическим абсцисс точек F и F':
$\frac{x_F + x_{F'}}{2} = -1$
$\frac{3 + x_{F'}}{2} = -1$
$3 + x_{F'} = -2$
$x_{F'} = -5$
Следовательно, координаты симметричной точки F'(-5; 7).

5. Укажем еще одну пару симметричных точек относительно прямой $x = -1$. Возьмем любую точку, например, P(0; 0). Найдем симметричную ей точку P'. Ее ордината будет такой же, $y_{P'} = 0$. Найдем абсциссу:
$\frac{0 + x_{P'}}{2} = -1 \implies x_{P'} = -2$.
Значит, точки P(0; 0) и P'(-2; 0) являются еще одной парой симметричных точек.

Ответ: Ось симметрии: $x = -1$. Точка, симметричная F(3; 7), — это точка F'(-5; 7). Пример другой пары симметричных точек: (0; 0) и (-2; 0).