Страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Функции и графики

1. а) Отметьте на координатной плоскости точку $P(-1; 2)$. Найдите точку, симметричную данной относительно оси ординат.

б) Отметьте на координатной плоскости точку $K(3; -1)$. Найдите точку, симметричную данной относительно оси абсцисс.

а) Чтобы отметить точку $P(-1; 2)$ на координатной плоскости, нужно от начала координат (точки $(0;0)$) отступить на 1 единицу влево по оси абсцисс ($Ox$) и на 2 единицы вверх по оси ординат ($Oy$).

Точка, симметричная данной точке относительно оси ординат (оси $Oy$), имеет противоположную по знаку координату $x$ (абсциссу) и ту же самую координату $y$ (ординату). Общее правило: точка, симметричная точке $(x; y)$ относительно оси ординат, имеет координаты $(-x; y)$.

Для точки $P(-1; 2)$ симметричной будет точка $P'$ со следующими координатами:
Новая абсцисса: $-(-1) = 1$
Новая ордината: $2$
Следовательно, искомая точка — это $P'(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$

б) Чтобы отметить точку $K(3; -1)$ на координатной плоскости, нужно от начала координат отступить на 3 единицы вправо по оси абсцисс ($Ox$) и на 1 единицу вниз по оси ординат ($Oy$).

Точка, симметричная данной точке относительно оси абсцисс (оси $Ox$), имеет ту же самую координату $x$ (абсциссу) и противоположную по знаку координату $y$ (ординату). Общее правило: точка, симметричная точке $(x; y)$ относительно оси абсцисс, имеет координаты $(x; -y)$.

Для точки $K(3; -1)$ симметричной будет точка $K'$ со следующими координатами:
Новая абсцисса: $3$
Новая ордината: $-(-1) = 1$
Следовательно, искомая точка — это $K'(3; 1)$.

Ответ: $(3; 1)$

2 а) Изобразите на координатной плоскости точку A$(-3; 3)$ и прямую $x = -2$. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

б) Изобразите на координатной плоскости точку C$(4; -2)$ и прямую $y = 1$. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

а) Изобразите на координатной плоскости точку А(-3; 3) и прямую x = -2. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

Для нахождения точки $A'(x'; y')$, симметричной точке $A(-3; 3)$ относительно прямой $x = -2$, воспользуемся свойствами осевой симметрии.

Прямая $x = -2$ — это вертикальная прямая. При симметрии относительно вертикальной прямой $x = c$:

• Ордината (координата $y$) точки не меняется.
• Отрезок, соединяющий исходную точку и симметричную ей, перпендикулярен оси симметрии (то есть является горизонтальным).
• Расстояние от исходной точки до оси симметрии равно расстоянию от симметричной точки до оси симметрии.

1. Так как ордината не меняется, координата $y$ точки $A'$ будет такой же, как у точки $A$: $y' = y_A = 3$.

2. Найдем абсциссу $x'$. Прямая $x = -2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что абсцисса прямой $x = -2$ является средним арифметическим абсцисс точек $A$ и $A'$.

Запишем формулу для координаты $x$ середины отрезка: $x_{оси} = \frac{x_A + x'}{2}$

Подставим известные значения: $x_{оси} = -2$ и $x_A = -3$. $-2 = \frac{-3 + x'}{2}$

Решим уравнение относительно $x'$: $-2 \cdot 2 = -3 + x'$
$-4 = -3 + x'$
$x' = -4 + 3$
$x' = -1$

Следовательно, координаты симметричной точки $A'$ равны $(-1; 3)$.

Ответ: $(-1; 3)$

б) Изобразите на координатной плоскости точку C(4; -2) и прямую y = 1. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

Для нахождения точки $C'(x'; y')$, симметричной точке $C(4; -2)$ относительно прямой $y = 1$, воспользуемся теми же свойствами осевой симметрии.

Прямая $y = 1$ — это горизонтальная прямая. При симметрии относительно горизонтальной прямой $y = d$:

• Абсцисса (координата $x$) точки не меняется.
• Отрезок, соединяющий исходную точку и симметричную ей, перпендикулярен оси симметрии (то есть является вертикальным).
• Расстояние от исходной точки до оси симметрии равно расстоянию от симметричной точки до оси симметрии.

1. Так как абсцисса не меняется, координата $x$ точки $C'$ будет такой же, как у точки $C$: $x' = x_C = 4$.

2. Найдем ординату $y'$. Прямая $y = 1$ является серединным перпендикуляром к отрезку $CC'$. Это означает, что ордината прямой $y = 1$ является средним арифметическим ординат точек $C$ и $C'$.

Запишем формулу для координаты $y$ середины отрезка: $y_{оси} = \frac{y_C + y'}{2}$

Подставим известные значения: $y_{оси} = 1$ и $y_C = -2$. $1 = \frac{-2 + y'}{2}$

Решим уравнение относительно $y'$: $1 \cdot 2 = -2 + y'$
$2 = -2 + y'$
$y' = 2 + 2$
$y' = 4$

Следовательно, координаты симметричной точки $C'$ равны $(4; 4)$.

Ответ: $(4; 4)$

3 а) Даны точки $A(-1; 4)$ и $B(-1; 8)$. Найдите прямую, которая является осью симметрии для этих двух точек. Отметьте точку $C(-2; 5)$ и найдите точку, симметричную ей относительно найденной прямой. Укажите ещё одну пару симметричных точек.

б) Даны точки $K(1; 5)$ и $L(-3; 5)$. Найдите прямую, которая является осью симметрии для этих двух точек. Отметьте точку $F(3; 7)$ и найдите точку, симметричную ей относительно найденной прямой. Укажите ещё одну пару симметричных точек.

а)

Даны точки A(-1; 4) и B(-1; 8). Осью симметрии для двух точек является прямая, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину (серединный перпендикуляр).

1. Найдем координаты середины M отрезка AB. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-1 + (-1)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Таким образом, точка M имеет координаты (-1; 6).

2. Определим уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Так как абсциссы (координаты x) точек A и B одинаковы и равны -1, то отрезок AB лежит на вертикальной прямой, уравнение которой $x = -1$.

3. Ось симметрии перпендикулярна прямой AB и проходит через ее середину M(-1; 6). Прямая, перпендикулярная вертикальной прямой $x = -1$, является горизонтальной. Уравнение горизонтальной прямой, проходящей через точку с ординатой 6, имеет вид $y = 6$.
Итак, искомая ось симметрии — это прямая $y = 6$.

4. Теперь найдем точку C', симметричную точке C(-2; 5) относительно прямой $y = 6$.
При симметрии относительно горизонтальной прямой $y = const$ абсцисса точки сохраняется, а новая ордината находится из условия, что ось симметрии является серединой отрезка, соединяющего исходную и симметричную точки. Пусть C' имеет координаты $(x_{C'}, y_{C'})$.
$x_{C'} = x_C = -2$.
Ордината $y = 6$ должна быть средним арифметическим ординат точек C и C':
$\frac{y_C + y_{C'}}{2} = 6$
$\frac{5 + y_{C'}}{2} = 6$
$5 + y_{C'} = 12$
$y_{C'} = 7$
Следовательно, координаты симметричной точки C'(-2; 7).

5. Укажем еще одну пару симметричных точек относительно прямой $y = 6$. Возьмем любую точку, не лежащую на оси симметрии, например, P(1; 2). Найдем симметричную ей точку P'. Ее абсцисса будет такой же, $x_{P'} = 1$. Найдем ординату:
$\frac{2 + y_{P'}}{2} = 6 \implies 2 + y_{P'} = 12 \implies y_{P'} = 10$.
Значит, точки P(1; 2) и P'(1; 10) являются еще одной парой симметричных точек.

Ответ: Ось симметрии: $y = 6$. Точка, симметричная C(-2; 5) — это точка C'(-2; 7). Пример другой пары симметричных точек: (1; 2) и (1; 10).

б)

Даны точки K(1; 5) и L(-3; 5). Найдем ось симметрии как серединный перпендикуляр к отрезку KL.

1. Найдем координаты середины M отрезка KL:
$x_M = \frac{x_K + x_L}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_M = \frac{y_K + y_L}{2} = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Координаты середины M(-1; 5).

2. Определим уравнение прямой, проходящей через точки K и L. Так как ординаты (координаты y) точек K и L одинаковы и равны 5, то отрезок KL лежит на горизонтальной прямой, уравнение которой $y = 5$.

3. Ось симметрии перпендикулярна прямой KL и проходит через ее середину M(-1; 5). Прямая, перпендикулярная горизонтальной прямой $y = 5$, является вертикальной. Уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой -1, имеет вид $x = -1$.
Итак, искомая ось симметрии — это прямая $x = -1$.

4. Теперь найдем точку F', симметричную точке F(3; 7) относительно прямой $x = -1$.
При симметрии относительно вертикальной прямой $x = const$ ордината точки сохраняется, а новая абсцисса находится из условия, что ось симметрии является серединой отрезка, соединяющего исходную и симметричную точки. Пусть F' имеет координаты $(x_{F'}, y_{F'})$.
$y_{F'} = y_F = 7$.
Абсцисса $x = -1$ должна быть средним арифметическим абсцисс точек F и F':
$\frac{x_F + x_{F'}}{2} = -1$
$\frac{3 + x_{F'}}{2} = -1$
$3 + x_{F'} = -2$
$x_{F'} = -5$
Следовательно, координаты симметричной точки F'(-5; 7).

5. Укажем еще одну пару симметричных точек относительно прямой $x = -1$. Возьмем любую точку, например, P(0; 0). Найдем симметричную ей точку P'. Ее ордината будет такой же, $y_{P'} = 0$. Найдем абсциссу:
$\frac{0 + x_{P'}}{2} = -1 \implies x_{P'} = -2$.
Значит, точки P(0; 0) и P'(-2; 0) являются еще одной парой симметричных точек.

Ответ: Ось симметрии: $x = -1$. Точка, симметричная F(3; 7), — это точка F'(-5; 7). Пример другой пары симметричных точек: (0; 0) и (-2; 0).

4 а) Даны точки $C(2; 4)$ и $D(1; 5)$. Постройте прямую, симметричную прямой $CD$ относительно оси абсцисс.

б) Даны точки $E(-1; 4)$ и $F(2; -2)$. Постройте прямую, симметричную прямой $EF$ относительно оси ординат.

а) Чтобы построить прямую, симметричную прямой $CD$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$), необходимо найти точки, симметричные точкам $C$ и $D$ относительно этой оси, и провести через них новую прямую.

При осевой симметрии относительно оси абсцисс, абсцисса ($x$) любой точки остается неизменной, а ее ордината ($y$) меняет знак на противоположный. Таким образом, точка с координатами $(x; y)$ отображается в точку с координатами $(x; -y)$.

Найдем координаты точек $C'$ и $D'$, симметричных точкам $C(2; 4)$ и $D(1; 5)$:

• Для точки $C(2; 4)$ симметричной будет точка $C'(2; -4)$.
• Для точки $D(1; 5)$ симметричной будет точка $D'(1; -5)$.

Для построения искомой прямой нужно отметить на координатной плоскости точки $C'(2; -4)$ и $D'(1; -5)$ и провести через них прямую. Эта прямая $C'D'$ и будет являться симметричной прямой $CD$ относительно оси абсцисс.

Ответ: Прямая, симметричная прямой $CD$ относительно оси абсцисс, проходит через точки с координатами $(2; -4)$ и $(1; -5)$.

б) Чтобы построить прямую, симметричную прямой $EF$ относительно оси ординат (оси $Oy$), необходимо найти точки, симметричные точкам $E$ и $F$ относительно этой оси, и провести через них новую прямую.

При осевой симметрии относительно оси ординат, ордината ($y$) любой точки остается неизменной, а ее абсцисса ($x$) меняет знак на противоположный. Таким образом, точка с координатами $(x; y)$ отображается в точку с координатами $(-x; y)$.

Найдем координаты точек $E'$ и $F'$, симметричных точкам $E(-1; 4)$ и $F(2; -2)$:

• Для точки $E(-1; 4)$ симметричной будет точка $E'(-(-1); 4)$, то есть $E'(1; 4)$.
• Для точки $F(2; -2)$ симметричной будет точка $F'(-2; -2)$.

Для построения искомой прямой нужно отметить на координатной плоскости точки $E'(1; 4)$ и $F'(-2; -2)$ и провести через них прямую. Эта прямая $E'F'$ и будет являться симметричной прямой $EF$ относительно оси ординат.

Ответ: Прямая, симметричная прямой $EF$ относительно оси ординат, проходит через точки с координатами $(1; 4)$ и $(-2; -2)$.