Страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

13 Постройте график функции $y = -0,5x + 2$. С помощью графика найдите:

а) координаты точек пересечения прямой с осью $x$ и осью $y$;

б) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$;

в) значения $y$, которые соответствуют значениям $x$, удовлетворяющим неравенству $-2 < x < 2$;

г) промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если $y_{\text{наим}} = -1, y_{\text{наиб}} = 4$.

Для построения графика функции $y = -0,5x + 2$ найдем координаты двух точек. Так как функция линейная, ее график — прямая линия.

1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x = 0$ в уравнение:
$y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$.
Первая точка имеет координаты $(0; 2)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$, подставив $y = 0$ в уравнение:
$0 = -0,5x + 2$
$0,5x = 2$
$x = 4$.
Вторая точка имеет координаты $(4; 0)$.

Отметив точки $(0; 2)$ и $(4; 0)$ на координатной плоскости и соединив их прямой, мы получим график заданной функции. Далее, используя этот график и аналитические вычисления, ответим на поставленные вопросы.

а) координаты точек пересечения прямой с осью x и осью y;

Точка пересечения с осью $Ox$ — это точка, в которой $y = 0$. Из наших вычислений выше, это точка с координатами $(4; 0)$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — это точка, в которой $x = 0$. Из наших вычислений выше, это точка с координатами $(0; 2)$.

Ответ: с осью $Ox$: $(4; 0)$; с осью $Oy$: $(0; 2)$.

б) значения аргумента, при которых $y > 0$, $y < 0$;

Значения $y > 0$ (положительные) соответствуют части графика, которая находится выше оси $Ox$. Это происходит для всех точек прямой, у которых абсцисса $x$ меньше абсциссы точки пересечения с осью $Ox$. Так как точка пересечения $(4; 0)$, то $y > 0$ при $x < 4$.
Значения $y < 0$ (отрицательные) соответствуют части графика, которая находится ниже оси $Ox$. Это происходит для всех точек прямой, у которых абсцисса $x$ больше абсциссы точки пересечения с осью $Ox$. Следовательно, $y < 0$ при $x > 4$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 4)$; $y < 0$ при $x \in (4; +\infty)$.

в) значения y, которые соответствуют значениям x, удовлетворяющим неравенству $-2 < x < 2$;

Нам нужно найти диапазон значений функции $y$ для интервала $x \in (-2; 2)$. Найдем значения $y$ на концах этого интервала:
При $x = -2$: $y = -0,5 \cdot (-2) + 2 = 1 + 2 = 3$.
При $x = 2$: $y = -0,5 \cdot 2 + 2 = -1 + 2 = 1$.
Поскольку функция $y = -0,5x + 2$ является убывающей (коэффициент при $x$ равен $-0,5$, что меньше нуля), при возрастании $x$ от $-2$ до $2$, значения $y$ будут убывать от $3$ до $1$. Так как неравенство для $x$ строгое, то и для $y$ оно будет строгим.

Ответ: $1 < y < 3$.

г) промежуток, которому принадлежит переменная x, если $y_{наим} = -1$, $y_{наиб} = 4$.

Необходимо найти промежуток для $x$, если значения $y$ находятся в пределах от $-1$ до $4$ включительно, то есть $-1 \le y \le 4$.
Найдем $x$, соответствующий $y = -1$:
$-1 = -0,5x + 2$
$-3 = -0,5x$
$x = 6$.
Найдем $x$, соответствующий $y = 4$:
$4 = -0,5x + 2$
$2 = -0,5x$
$x = -4$.
Так как функция убывающая, большему значению $y$ (равному 4) соответствует меньшее значение $x$ (равное -4), а меньшему значению $y$ (равному -1) соответствует большее значение $x$ (равное 6).

Ответ: $x \in [-4; 6]$.

14 Найдите координаты точек пересечения прямой с осью x и осью y:

а) $y = -\frac{1}{3}x + 1;$

б) $y = 1,2x - 6;$

в) $y = \frac{3}{4}x + 6;$

г) $y = -1,6x - 8.$

Для нахождения координат точки пересечения прямой с осью x (осью абсцисс), необходимо в уравнение прямой подставить значение $y=0$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

Для нахождения координат точки пересечения прямой с осью y (осью ординат), необходимо в уравнение прямой подставить значение $x=0$ и вычислить соответствующее значение $y$.

а) $y = -\frac{1}{3}x + 1$

1. Найдём точку пересечения с осью x, подставив $y=0$:

$0 = -\frac{1}{3}x + 1$

$\frac{1}{3}x = 1$

$x = 3$

Таким образом, точка пересечения с осью x: $(3; 0)$.

2. Найдём точку пересечения с осью y, подставив $x=0$:

$y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1$

$y = 1$

Таким образом, точка пересечения с осью y: $(0; 1)$.

Ответ: с осью x: $(3; 0)$, с осью y: $(0; 1)$.

б) $y = 1,2x - 6$

1. Найдём точку пересечения с осью x, подставив $y=0$:

$0 = 1,2x - 6$

$1,2x = 6$

$x = \frac{6}{1,2} = \frac{60}{12} = 5$

Таким образом, точка пересечения с осью x: $(5; 0)$.

2. Найдём точку пересечения с осью y, подставив $x=0$:

$y = 1,2 \cdot 0 - 6$

$y = -6$

Таким образом, точка пересечения с осью y: $(0; -6)$.

Ответ: с осью x: $(5; 0)$, с осью y: $(0; -6)$.

в) $y = \frac{3}{4}x + 6$

1. Найдём точку пересечения с осью x, подставив $y=0$:

$0 = \frac{3}{4}x + 6$

$-\frac{3}{4}x = 6$

$x = 6 \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{24}{3} = -8$

Таким образом, точка пересечения с осью x: $(-8; 0)$.

2. Найдём точку пересечения с осью y, подставив $x=0$:

$y = \frac{3}{4} \cdot 0 + 6$

$y = 6$

Таким образом, точка пересечения с осью y: $(0; 6)$.

Ответ: с осью x: $(-8; 0)$, с осью y: $(0; 6)$.

г) $y = -1,6x - 8$

1. Найдём точку пересечения с осью x, подставив $y=0$:

$0 = -1,6x - 8$

$1,6x = -8$

$x = \frac{-8}{1,6} = \frac{-80}{16} = -5$

Таким образом, точка пересечения с осью x: $(-5; 0)$.

2. Найдём точку пересечения с осью y, подставив $x=0$:

$y = -1,6 \cdot 0 - 8$

$y = -8$

Таким образом, точка пересечения с осью y: $(0; -8)$.

Ответ: с осью x: $(-5; 0)$, с осью y: $(0; -8)$.

15 Определите, принадлежит ли графику данной линейной функции точка A, если:

а) $y = 0.6x + 30$, A(-25; 15);

б) $y = -1.8x - 5.4$, A(3; 0);

в) $y = 1.5x - 9$, A(9; 4,5);

г) $y = -0.75x + 3$, A(4; 0).

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты этой точки (x и y) в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) Дана функция $y = 0,6x + 30$ и точка $A(-25; 15)$.
В данном случае $x = -25$, а $y = 15$. Подставляем эти значения в уравнение функции:
$15 = 0,6 \cdot (-25) + 30$
Выполняем вычисления в правой части:
$0,6 \cdot (-25) = -15$
$-15 + 30 = 15$
Получаем верное равенство:
$15 = 15$
Следовательно, точка A принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

б) Дана функция $y = -1,8x - 5,4$ и точка $A(3; 0)$.
Здесь $x = 3$, а $y = 0$. Подставляем эти значения в уравнение:
$0 = -1,8 \cdot 3 - 5,4$
Выполняем вычисления в правой части:
$-1,8 \cdot 3 = -5,4$
$-5,4 - 5,4 = -10,8$
Получаем неверное равенство:
$0 = -10,8$
Следовательно, точка A не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

в) Дана функция $y = 1,5x - 9$ и точка $A(9; 4,5)$.
Здесь $x = 9$, а $y = 4,5$. Подставляем эти значения в уравнение:
$4,5 = 1,5 \cdot 9 - 9$
Выполняем вычисления в правой части:
$1,5 \cdot 9 = 13,5$
$13,5 - 9 = 4,5$
Получаем верное равенство:
$4,5 = 4,5$
Следовательно, точка A принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

г) Дана функция $y = -0,75x + 3$ и точка $A(4; 0)$.
Здесь $x = 4$, а $y = 0$. Подставляем эти значения в уравнение:
$0 = -0,75 \cdot 4 + 3$
Выполняем вычисления в правой части:
$-0,75 \cdot 4 = -3$
$-3 + 3 = 0$
Получаем верное равенство:
$0 = 0$
Следовательно, точка A принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

16 Найдите наименьшее и наибольшее значения линейной функции:

a) $y = -3x$ на отрезке $[-2; 1];$

б) $y = 2,5x - 2$ на луче $(-\infty; 2];$

в) $y = 1,5x$ на луче $[-2; +\infty);$

г) $y = -x + 4$ на отрезке $[-1; 3].$

а) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = -3x$ на отрезке $[-2; 1]$.

Данная функция является линейной с угловым коэффициентом $k = -3$. Так как $k < 0$, функция является убывающей на всей области определения. Следовательно, на заданном отрезке $[-2; 1]$ она принимает свое наибольшее значение на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = -3 \cdot (-2) = 6$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = -3 \cdot 1 = -3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -3, наибольшее значение равно 6.

б) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = 2,5x - 2$ на луче $(-\infty; 2]$.

Данная функция является линейной с угловым коэффициентом $k = 2,5$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей. На луче $(-\infty; 2]$ функция будет принимать наибольшее значение в крайней правой точке, то есть при $x=2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2,5 \cdot 2 - 2 = 5 - 2 = 3$.

Так как функция возрастает, а луч уходит в минус бесконечность, значения функции также будут неограниченно уменьшаться ($y \to -\infty$ при $x \to -\infty$). Следовательно, наименьшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение равно 3.

в) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = 1,5x$ на луче $[-2; +\infty)$.

Данная функция является линейной с угловым коэффициентом $k = 1,5$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей. На луче $[-2; +\infty)$ функция будет принимать наименьшее значение в крайней левой точке, то есть при $x=-2$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = 1,5 \cdot (-2) = -3$.

Так как функция возрастает, а луч уходит в плюс бесконечность, значения функции также будут неограниченно возрастать ($y \to +\infty$ при $x \to +\infty$). Следовательно, наибольшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно -3, наибольшего значения не существует.

г) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = -x + 4$ на отрезке $[-1; 3]$.

Данная функция является линейной с угловым коэффициентом $k = -1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Следовательно, на заданном отрезке $[-1; 3]$ она принимает свое наибольшее значение на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = -(-1) + 4 = 1 + 4 = 5$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = -3 + 4 = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 5.

17 Найдите точку пересечения прямых графическим и аналитическим методами:

а) $y = 3x - 4$ и $y = x;$

б) $y = \frac{1}{3}x - 3$ и $y = -x + 1;$

в) $y = -2x$ и $y = 0,5x + 5;$

г) $y = -5x - 2$ и $y = x + 4.$

а) $y = 3x - 4$ и $y = x$

Аналитический метод:

Для нахождения точки пересечения необходимо решить систему уравнений. Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих прямых совпадают:

$3x - 4 = x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$3x - x = 4$

$2x = 4$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Используем второе, более простое уравнение $y = x$:

$y = 2$

Таким образом, аналитически найденная точка пересечения имеет координаты $(2, 2)$.

Графический метод:

Для построения графика каждой прямой найдем координаты двух точек. Для прямой $y = 3x - 4$: при $x=0, y = -4$ (точка $(0, -4)$) и при $x=2, y=2$ (точка $(2, 2)$). Для прямой $y = x$: при $x=0, y=0$ (точка $(0, 0)$) и при $x=2, y=2$ (точка $(2, 2)$). Построив эти две прямые на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в точке $(2, 2)$.

Ответ: (2, 2)

б) $y = \frac{1}{3}x - 3$ и $y = -x + 1$

Аналитический метод:

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{3}x - 3 = -x + 1$

Соберем слагаемые с $x$ в левой части, а константы в правой:

$\frac{1}{3}x + x = 1 + 3$

$\frac{4}{3}x = 4$

$x = 4 \cdot \frac{3}{4}$

$x = 3$

Подставим $x=3$ в уравнение $y = -x + 1$:

$y = -3 + 1 = -2$

Точка пересечения имеет координаты $(3, -2)$.

Графический метод:

Найдем по две точки для каждой прямой. Для прямой $y = \frac{1}{3}x - 3$: при $x=0, y = -3$ (точка $(0, -3)$) и при $x=3, y = -2$ (точка $(3, -2)$). Для прямой $y = -x + 1$: при $x=0, y = 1$ (точка $(0, 1)$) и при $x=3, y = -2$ (точка $(3, -2)$). Построив графики на координатной плоскости, увидим, что они пересекаются в точке $(3, -2)$.

Ответ: (3, -2)

в) $y = -2x$ и $y = 0,5x + 5$

Аналитический метод:

Приравняем правые части уравнений:

$-2x = 0.5x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$-2x - 0.5x = 5$

$-2.5x = 5$

$x = \frac{5}{-2.5}$

$x = -2$

Подставим $x = -2$ в уравнение $y = -2x$:

$y = -2(-2) = 4$

Точка пересечения имеет координаты $(-2, 4)$.

Графический метод:

Найдем точки для построения графиков. Для прямой $y = -2x$: при $x=0, y = 0$ (точка $(0, 0)$) и при $x=-2, y = 4$ (точка $(-2, 4)$). Для прямой $y = 0.5x + 5$: при $x=0, y = 5$ (точка $(0, 5)$) и при $x=-2, y = 4$ (точка $(-2, 4)$). Нанеся точки на координатную плоскость и проведя через них прямые, мы увидим, что точка их пересечения — $(-2, 4)$.

Ответ: (-2, 4)

г) $y = -5x - 2$ и $y = x + 4$

Аналитический метод:

Приравняем правые части уравнений:

$-5x - 2 = x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$-5x - x = 4 + 2$

$-6x = 6$

$x = -1$

Подставим $x=-1$ в уравнение $y = x + 4$:

$y = -1 + 4 = 3$

Точка пересечения имеет координаты $(-1, 3)$.

Графический метод:

Найдем точки для построения графиков. Для прямой $y = -5x - 2$: при $x=0, y = -2$ (точка $(0, -2)$) и при $x=-1, y = 3$ (точка $(-1, 3)$). Для прямой $y = x + 4$: при $x=0, y = 4$ (точка $(0, 4)$) и при $x=-1, y = 3$ (точка $(-1, 3)$). Построив графики, увидим, что они пересекаются в точке $(-1, 3)$.

Ответ: (-1, 3)