Страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

31 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2$:

a) на отрезке $[0; 2]$;

б) на полуинтервале $(-1,2; 3]$;

в) на луче $(-\infty; -2]$;

г) на луче $[-1; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^2$ на заданных промежутках, проанализируем её свойства. График функции — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. Глобальный минимум функции достигается в точке $x=0$ и равен $y(0)=0$.

а) на отрезке [0; 2]

Данный отрезок $[0; 2]$ расположен на промежутке возрастания функции $y=x^2$, так как для всех $x$ из этого отрезка выполняется условие $x \ge 0$. На возрастающем участке функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Наибольшее значение функции:

$y_{наиб} = y(2) = 2^2 = 4$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 4.

б) на полуинтервале (–1,2; 3]

Данный полуинтервал $(-1,2; 3]$ включает в себя точку минимума функции $x=0$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно значению в этой точке.

Наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Чтобы найти наибольшее значение, необходимо сравнить значения функции на концах полуинтервала. Поскольку вершина параболы находится в точке $x=0$, наибольшее значение будет достигаться в той точке интервала, которая наиболее удалена от нуля. Сравним $|-1,2|$ и $|3|$.

$|3| = 3$, а $|-1,2| = 1,2$.

Так как $3 > 1,2$, наибольшее значение будет в точке $x=3$. Эта точка включена в полуинтервал.

Наибольшее значение функции:

$y_{наиб} = y(3) = 3^2 = 9$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 9.

в) на луче (–∞; –2]

На данном луче $(-\infty; -2]$ функция $y=x^2$ является монотонно убывающей (так как для всех $x$ из этого луча $x < 0$). На убывающем участке наименьшее значение достигается в самой правой точке промежутка.

Наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(-2) = (-2)^2 = 4$.

Так как луч уходит в минус бесконечность, значения $x$ не ограничены снизу. При $x \to -\infty$, значение функции $y = x^2 \to +\infty$. Это означает, что функция может принимать сколь угодно большие значения, и наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшего значения не существует.

г) на луче [–1; +∞)

Данный луч $[-1; +\infty)$ включает в себя точку минимума функции $x=0$. Таким образом, наименьшее значение функции на этом луче будет достигаться именно в этой точке.

Наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Так как луч уходит в плюс бесконечность, значения $x$ не ограничены сверху. При $x \to +\infty$, значение функции $y = x^2 \to +\infty$. Это означает, что функция может принимать сколь угодно большие значения, и наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

32 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2$:

a) на отрезке $[-2; 1]$;

б) на интервале $(-3; 1)$;

в) на полуинтервале $(0,3; 3]$;

г) на луче $(-\infty; -1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -x^2$ на различных промежутках, проанализируем её свойства. Это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Вершина является точкой глобального максимума. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Данный отрезок является замкнутым и содержит точку максимума $x = 0$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться в этой точке.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -(0)^2 = 0$.

Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -2$ и $x = 1$:

$y(-2) = -(-2)^2 = -4$

$y(1) = -(1)^2 = -1$

Сравнивая значения, видим, что наименьшее из них равно -4.

Ответ: наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно -4.

Данный интервал является открытым, но он также содержит точку максимума $x=0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = 0$.

Для поиска наименьшего значения рассмотрим поведение функции вблизи границ интервала. При $x \to -3$, значение $y \to -(-3)^2 = -9$. При $x \to 1$, значение $y \to -(1)^2 = -1$. Поскольку интервал открытый, точки $x = -3$ и $x = 1$ в него не входят. Значения функции могут быть сколь угодно близки к -9, но никогда не достигают этого значения. Следовательно, наименьшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 0, наименьшего значения не существует.

Данный полуинтервал не содержит точку максимума $x=0$. На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = -x^2$ монотонно убывает. Следовательно, она убывает и на полуинтервале $(0,3; 3]$.

В этом случае наименьшее значение достигается на правом конце промежутка, так как он включен в полуинтервал.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = -(3)^2 = -9$.

Наибольшее значение должно было бы достигаться на левом конце, но точка $x = 0,3$ не включена в промежуток. Значения функции стремятся к $y(0,3) = -(0,3)^2 = -0,09$, но не достигают его. Поэтому наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение равно -9, наибольшего значения не существует.

Данный луч не содержит точку максимума $x=0$. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $y = -x^2$ монотонно возрастает. Следовательно, она возрастает и на луче $(-\infty; -1]$.

Наибольшее значение будет достигаться в самой правой точке промежутка, которая включена в него.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = -(-1)^2 = -1$.

Поскольку луч уходит в $-\infty$, функция $y = -x^2$ будет также стремиться к $-\infty$. Это означает, что функция не ограничена снизу, и наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение равно -1, наименьшего значения не существует.

Решите графически уравнение:

33 a) $x^2 = 9$;

б) $-x^2 = 2x$;

в) $x^2 = -3x$;

г) $-x^2 = 2$.

Чтобы решить уравнения графически, нужно построить в одной системе координат графики функций, соответствующих левой и правой частям каждого уравнения. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков и будут решениями исходного уравнения.

а) $x^2 = 9$

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 9$.
1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0,0), ветви которой направлены вверх.
2. График функции $y = 9$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0,9).
Построив оба графика, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Чтобы найти их абсциссы, нужно определить, при каких значениях $x$ значение функции $y=x^2$ равно 9. Это происходит при $x = 3$ и $x = -3$.
Следовательно, точки пересечения графиков: (-3, 9) и (3, 9).

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 3$.

б) $-x^2 = 2x$

Рассмотрим две функции: $y = -x^2$ и $y = 2x$.
1. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0,0), ветви которой направлены вниз.
2. График функции $y = 2x$ — это прямая, проходящая через начало координат (0,0) и точку (1,2).
Построив графики в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в двух точках.
Одна точка пересечения — это начало координат (0,0), что дает нам корень $x = 0$.
Вторая точка пересечения находится в левой полуплоскости. Найдем ее координаты, приравняв значения $y$: $-x^2 = 2x$. Графически видно, что это происходит в точке с абсциссой $x=-2$. Проверим: $y = -(-2)^2 = -4$ и $y = 2(-2) = -4$.
Точки пересечения: (0,0) и (-2,-4).

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0$.

в) $x^2 = -3x$

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = -3x$.
1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0,0) и ветвями вверх.
2. График функции $y = -3x$ — это прямая, проходящая через начало координат (0,0) и точку (1,-3).
Построим графики и найдем точки их пересечения.
Одна точка пересечения — (0,0), следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.
Вторая точка пересечения имеет абсциссу $x = -3$. Проверим: $y = (-3)^2 = 9$ и $y = -3(-3) = 9$.
Точки пересечения: (0,0) и (-3,9).

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 0$.

г) $-x^2 = 2$

Рассмотрим две функции: $y = -x^2$ и $y = 2$.
1. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в (0,0) и ветвями, направленными вниз. Максимальное значение этой функции равно 0 (достигается при $x=0$). Для всех остальных $x$ значения $y$ отрицательны.
2. График функции $y = 2$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0,2).
Парабола $y = -x^2$ целиком лежит ниже оси Ox (за исключением вершины). Прямая $y=2$ целиком лежит выше оси Ox. Таким образом, у этих графиков нет ни одной точки пересечения.

Ответ: нет решений.

34 а) $-x^2 = x - 6;$

б) $x^2 = 2x - 1;$

В) $x^2 = 3x + 4;$

Г) $-x^2 = 4x + 4.$

а)

Для решения уравнения $-x^2 = x - 6$ приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все слагаемые в одну часть:
$x^2 + x - 6 = 0$

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $-3; 2$.

б)

Приведем уравнение $x^2 = 2x - 1$ к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все слагаемые в левую часть:
$x^2 - 2x + 1 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(x - 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что $x - 1 = 0$, и корень уравнения:
$x = 1$

Также можно решить через дискриминант. Для уравнения $x^2 - 2x + 1 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=1$.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1$.

в)

Перенесем все члены уравнения $x^2 = 3x + 4$ в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x - 4 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 4$.

г)

Приведем уравнение $-x^2 = 4x + 4$ к стандартному виду, перенеся все слагаемые в одну часть:
$x^2 + 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x + 2)^2 = 0$
Отсюда $x + 2 = 0$, и корень уравнения:
$x = -2$

Также можно использовать дискриминант. Для $x^2 + 4x + 4 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=4$.
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2$

Ответ: $-2$.

35 Решите графически неравенство:

a) $x^2 > 4$;

б) $-x^2 \ge x - 2$;

в) $-x^2 \ge -9$;

г) $x^2 < 2 + x$.

а) $x^2 > 4$

Чтобы решить неравенство графически, необходимо построить в одной системе координат графики функций, соответствующих левой и правой частям неравенства: $y = x^2$ и $y = 4$.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола, вершина которой находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх.

2. График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0, 4).

Далее найдем точки пересечения этих двух графиков. для этого решим уравнение $x^2 = 4$.
$x_1 = \sqrt{4} = 2$
$x_2 = -\sqrt{4} = -2$
Таким образом, графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$.

Неравенство $x^2 > 4$ выполняется для тех значений $x$, при которых график параболы $y = x^2$ расположен выше графика прямой $y = 4$. Глядя на построенные графики, мы видим, что это происходит на двух промежутках: слева от точки пересечения $x = -2$ и справа от точки пересечения $x = 2$. Так как неравенство строгое ($>$), сами точки пересечения в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$

б) $-x^2 \ge x - 2$

Рассмотрим две функции: $y = -x^2$ и $y = x - 2$. Построим их графики в одной системе координат.

1. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз.

2. График функции $y = x - 2$ — это прямая. для ее построения найдем две точки, например: при $x=0$, $y=-2$ (точка (0, -2)); при $x=2$, $y=0$ (точка (2, 0)).

Найдем абсциссы точек пересечения графиков, решив уравнение:
$-x^2 = x - 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
Используя теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Решением неравенства $-x^2 \ge x - 2$ являются те значения $x$, для которых график параболы $y = -x^2$ расположен не ниже (то есть выше или на том же уровне) графика прямой $y = x - 2$. Из графика видно, что это условие выполняется на отрезке между точками пересечения. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), концы отрезка (сами точки пересечения) включаются в решение.

Ответ: $x \in [-2; 1]$

в) $-x^2 \ge -9$

Для графического решения построим графики функций $y = -x^2$ и $y = -9$.

1. График $y = -x^2$ — парабола с вершиной в начале координат, ветвями вниз.

2. График $y = -9$ — прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку (0, -9).

Найдем точки пересечения, решив уравнение $-x^2 = -9$, что эквивалентно $x^2 = 9$.
Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Мы ищем значения $x$, при которых график параболы $y = -x^2$ находится не ниже (выше или на одном уровне) прямой $y = -9$. По графику видно, что парабола находится выше прямой на промежутке между точками пересечения. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x=-3$ и $x=3$ включаются в решение.

Ответ: $x \in [-3; 3]$

г) $x^2 < 2 + x$

Перепишем неравенство в виде $x^2 < x + 2$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = x + 2$.

1. $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в (0, 0) и ветвями вверх.

2. $y = x + 2$ — прямая, проходящая, например, через точки (0, 2) и (-2, 0).

Найдем абсциссы точек пересечения, решив уравнение:
$x^2 = x + 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Неравенство $x^2 < x + 2$ выполняется для тех $x$, при которых график параболы $y = x^2$ лежит ниже графика прямой $y = x + 2$. Из графиков видно, что это происходит на интервале между точками пересечения. Неравенство строгое ($<$), поэтому концы интервала в решение не входят.

Ответ: $x \in (-1; 2)$

36 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } -3 \le x \le 0, \\ -3x, \text{ если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

С помощью графика найдите:

а) $f(-1), f(1), f(2);$

б) значения $x$, при которых $f(x) = 0, f(x) = 4, f(x) = -6;$

в) область определения функции;

г) множество значений функции.

Задача состоит в построении графика кусочно-заданной функции и нахождении её характеристик по графику.

Функция задана следующим образом:

$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x \le 0, \\ -3x, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases} $

Для построения графика рассмотрим каждую часть функции отдельно.

1. График функции $y = x^2$ на промежутке $[-3, 0]$.

Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Построим её по точкам:

— При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$. Точка $(-3, 9)$.

— При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.

— При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.

— При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Крайние точки $(-3, 9)$ и $(0, 0)$ принадлежат графику, так как неравенства нестрогие.

2. График функции $y = -3x$ на промежутке $(0, 3]$.

Это часть прямой. Для её построения достаточно двух точек:

— При $x=3$, $y = -3 \cdot 3 = -9$. Точка $(3, -9)$. Эта точка принадлежит графику.

— Точка при $x=0$ является "выколотой", так как неравенство строгое ($x>0$). Координаты этой точки $(0, 0)$.

Объединение графиков:

Совмещаем оба графика на одной координатной плоскости. Точка $(0, 0)$ является общей. Поскольку она включена в первую часть функции, на итоговом графике она будет закрашенной.

Ниже представлен итоговый график функции $y = f(x)$.

С помощью графика найдём:

а) $f(-1), f(1), f(2)$

Для нахождения значений функции по графику, находим на оси $Ox$ заданное значение аргумента, проводим вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси $Oy$. Полученное значение на оси $Oy$ и будет значением функции. Также можно воспользоваться аналитическим заданием функции.

— Для нахождения $f(-1)$, заметим, что $x=-1$ принадлежит промежутку $[-3, 0]$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x^2$. $f(-1) = (-1)^2 = 1$. На графике это точка $(-1, 1)$.

— Для нахождения $f(1)$, заметим, что $x=1$ принадлежит промежутку $(0, 3]$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -3x$. $f(1) = -3 \cdot 1 = -3$. На графике это точка $(1, -3)$.

— Для нахождения $f(2)$, заметим, что $x=2$ принадлежит промежутку $(0, 3]$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -3x$. $f(2) = -3 \cdot 2 = -6$. На графике это точка $(2, -6)$.

Ответ: $f(-1) = 1$, $f(1) = -3$, $f(2) = -6$.

б) значения $x$, при которых $f(x) = 0, f(x) = 4, f(x) = -6$

Для нахождения значений $x$ по заданным значениям функции, находим на оси $Oy$ заданное значение, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точек пересечения опускаем перпендикуляры на ось $Ox$.

— Найдём $x$, при которых $f(x) = 0$. Прямая $y=0$ пересекает график в точке $(0, 0)$, что соответствует $x=0$. Аналитически: $x^2 = 0 \implies x=0$ (входит в промежуток $[-3, 0]$), а $-3x = 0 \implies x=0$ (не входит в промежуток $(0, 3]$). Значит, $x=0$.

— Найдём $x$, при которых $f(x) = 4$. Прямая $y=4$ пересекает параболическую часть графика в точке $(-2, 4)$. Аналитически: $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Промежутку $[-3, 0]$ принадлежит только $x=-2$. Уравнение $-3x = 4$ даёт $x = -4/3$, что не входит в промежуток $(0, 3]$. Значит, $x=-2$.

— Найдём $x$, при которых $f(x) = -6$. Прямая $y=-6$ пересекает прямолинейную часть графика в точке $(2, -6)$. Аналитически: $x^2 = -6$ не имеет действительных корней. Уравнение $-3x = -6$ даёт $x=2$, что входит в промежуток $(0, 3]$. Значит, $x=2$.

Ответ: при $f(x)=0, x=0$; при $f(x)=4, x=-2$; при $f(x)=-6, x=2$.

в) область определения функции

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Функция задана на промежутках $[-3, 0]$ и $(0, 3]$. Объединив эти промежутки, получим область определения.

$D(f) = [-3, 0] \cup (0, 3] = [-3, 3]$.

Ответ: $D(f) = [-3, 3]$.

г) множество значений функции

Множество значений функции $E(f)$ — это множество всех значений $y$, которые принимает функция. Найдем множество значений для каждой части графика.

— На промежутке $x \in [-3, 0]$, функция $y=x^2$ монотонно убывает от $f(-3)=9$ до $f(0)=0$. Множество значений на этом участке — $[0, 9]$.

— На промежутке $x \in (0, 3]$, функция $y=-3x$ монотонно убывает от значения, близкого к $0$, до $f(3)=-9$. Множество значений на этом участке — $[-9, 0)$.

Объединяя множества значений с обоих участков, получаем полное множество значений функции:

$E(f) = [-9, 0) \cup [0, 9] = [-9, 9]$.

Ответ: $E(f) = [-9, 9]$.

37 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -x^2, \text{ если } -2 \le x \le 0 \\ 2x, \text{ если } 0 < x \le 2 \end{cases}$

С помощью графика найдите:

а) $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$;

б) значения $x$, при которых $f(x) = 0$, $f(x) = -4$, $f(x) = 1$;

в) область определения функции;

г) множество значений функции.

Для построения графика заданной кусочной функции $y = f(x)$ рассмотрим каждый её участок отдельно.

1. На промежутке $-2 \le x \le 0$ функция задаётся формулой $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Вычислим значения функции на концах этого промежутка:

• при $x = -2, y = -(-2)^2 = -4$;
• при $x = 0, y = -(0)^2 = 0$.

Таким образом, на координатной плоскости мы строим часть параболы, соединяющую точки $(-2, -4)$ и $(0, 0)$. Обе точки включены.

2. На промежутке $0 < x \le 2$ функция задаётся формулой $y = 2x$. Это часть прямой, проходящей через начало координат. Вычислим значения функции на концах этого промежутка:

• при $x \to 0$ (справа), $y \to 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$ не входит в этот участок (будет "выколотой").
• при $x = 2, y = 2 \cdot 2 = 4$.

Таким образом, мы строим отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(2, 4)$. Точка $(0,0)$ не включена, а точка $(2,4)$ включена.

Совмещая обе части, получаем итоговый график. Точка $(0, 0)$ является "общей", и так как она включена в первый промежуток, на итоговом графике она будет закрашенной.

Теперь, используя график и определение функции, найдём требуемые значения.

а) f(-1), f(0), f(2);
Чтобы найти значение $f(-1)$, используем первую часть определения функции, так как $-2 \le -1 \le 0$.
$f(-1) = -(-1)^2 = -1$.
Чтобы найти значение $f(0)$, используем первую часть определения функции, так как $x=0$ принадлежит промежутку $[-2; 0]$.
$f(0) = -(0)^2 = 0$.
Чтобы найти значение $f(2)$, используем вторую часть определения функции, так как $0 < 2 \le 2$.
$f(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $f(-1) = -1$, $f(0) = 0$, $f(2) = 4$.

б) значения x, при которых f(x) = 0, f(x) = -4, f(x) = 1;
Найдём $x$, при котором $f(x) = 0$. Из графика видно, что график пересекает ось абсцисс в точке $x = 0$. Проверим по формулам: $-x^2 = 0 \Rightarrow x=0$. Это значение принадлежит промежутку $[-2; 0]$. Уравнение $2x=0$ также дает $x=0$, но это значение не входит в промежуток $(0; 2]$. Итак, $x=0$.
Найдём $x$, при котором $f(x) = -4$. Проведём мысленно прямую $y=-4$. Она пересекает параболическую часть графика. Решим уравнение $-x^2 = -4$ для $x \in [-2; 0]$. Получаем $x^2 = 4$, откуда $x=2$ или $x=-2$. Промежутку $[-2; 0]$ принадлежит только $x=-2$.
Найдём $x$, при котором $f(x) = 1$. Проведём мысленно прямую $y=1$. Она пересекает линейную часть графика. Решим уравнение $2x = 1$ для $x \in (0; 2]$. Получаем $x = 0.5$. Это значение принадлежит промежутку $(0; 2]$. Уравнение $-x^2=1$ на первом промежутке решений не имеет.
Ответ: при $f(x) = 0$, $x = 0$; при $f(x) = -4$, $x = -2$; при $f(x) = 1$, $x = 0.5$.

в) область определения функции;
Область определения $D(f)$ — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Она состоит из объединения двух промежутков, указанных в условии: $[-2; 0]$ и $(0; 2]$.
$D(f) = [-2; 0] \cup (0; 2] = [-2; 2]$.
Ответ: $D(f) = [-2; 2]$.

г) множество значений функции.
Множество значений $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y$.
На промежутке $[-2; 0]$ функция $y = -x^2$ принимает значения от $y(-2) = -4$ до $y(0) = 0$. Множество значений на этом участке: $[-4; 0]$.
На промежутке $(0; 2]$ функция $y = 2x$ принимает значения от $0$ (не включая) до $y(2) = 4$ (включая). Множество значений на этом участке: $(0; 4]$.
Общее множество значений функции является объединением этих двух множеств: $E(f) = [-4; 0] \cup (0; 4] = [-4; 4]$.
Ответ: $E(f) = [-4; 4]$.