Страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

81 Из двух пунктов, расстояние между которыми 340 км, одновременно навстречу друг другу выехали два поезда. Через 2 ч после начала движения им осталось пройти до встречи 30 км. Найдите скорости поездов, если известно, что скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого.

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим искомые величины через переменную.

Пусть скорость первого поезда равна $x$ км/ч.

По условию, скорость второго поезда на 5 км/ч больше, значит, она равна $(x + 5)$ км/ч.

Поезда движутся навстречу друг другу. Скорость их сближения равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = x + (x + 5) = 2x + 5$ км/ч.

Изначально расстояние между поездами было 340 км. Через 2 часа движения между ними осталось 30 км. Это значит, что за 2 часа они вместе преодолели расстояние: $S_{пройденное} = 340 \text{ км} - 30 \text{ км} = 310 \text{ км}$.

Пройденное расстояние можно найти, умножив скорость сближения на время в пути ($t = 2$ ч). Составим уравнение: $S_{пройденное} = v_{сближения} \times t$

$(2x + 5) \times 2 = 310$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$4x + 10 = 310$

$4x = 310 - 10$

$4x = 300$

$x = \frac{300}{4}$

$x = 75$

Таким образом, скорость первого поезда составляет 75 км/ч.

Теперь найдем скорость второго поезда: $x + 5 = 75 + 5 = 80$ км/ч.

Проверка:
За 2 часа первый поезд проедет: $75 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 150 \text{ км}$.
За 2 часа второй поезд проедет: $80 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 160 \text{ км}$.
Вместе они проедут: $150 \text{ км} + 160 \text{ км} = 310 \text{ км}$.
Оставшееся расстояние до встречи: $340 \text{ км} - 310 \text{ км} = 30 \text{ км}$.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: скорости поездов равны 75 км/ч и 80 км/ч.

82 От пристани А отошёл плот. Одновременно с ним от пристани В отошла моторная лодка вверх по течению реки, по направлению к А. Найдите собственную скорость лодки, если лодка и плот встретились через 2 ч, а расстояние между пристанями А и В равно 16 км.

Для решения данной задачи введем переменные. Пусть $v_{л}$ — это собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), которую нам необходимо найти, а $v_{т}$ — это скорость течения реки. Расстояние между пристанями А и В составляет $S = 16$ км. Время, через которое лодка и плот встретились, равно $t = 2$ ч.

Плот не имеет собственного мотора, поэтому его скорость движения относительно берега равна скорости течения реки. Плот отошел от пристани А и плыл по течению, значит, его скорость $v_{плота} = v_{т}$.

Моторная лодка отошла от пристани В и двигалась вверх по течению, то есть против течения, в направлении пристани А. Её скорость относительно берега будет равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{лодки\_против} = v_{л} - v_{т}$.

Поскольку плот и лодка двигались навстречу друг другу, их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_{плота} + v_{лодки\_против}$

Подставим в эту формулу выражения для скоростей плота и лодки: $v_{сбл} = v_{т} + (v_{л} - v_{т})$ $v_{сбл} = v_{т} + v_{л} - v_{т}$ $v_{сбл} = v_{л}$

Таким образом, скорость, с которой сокращалось расстояние между лодкой и плотом, равна собственной скорости лодки.

За 2 часа лодка и плот вместе преодолели всё расстояние между пристанями А и В. Зная это, мы можем использовать формулу пути $S = v \cdot t$. В нашем случае расстояние $S$ — это расстояние между пристанями, $v$ — это скорость сближения $v_{сбл}$, а $t$ — время до встречи.

Составим уравнение, подставив известные значения: $16 = v_{л} \cdot 2$

Из этого уравнения найдем искомую собственную скорость лодки: $v_{л} = \frac{16}{2}$ $v_{л} = 8$

Следовательно, собственная скорость лодки равна 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч.

83 От пристани А вниз по течению реки отошла лодка, собственная скорость которой 12 км/ч, а через 1 ч вверх по течению отправился катер, собственная скорость которого 18 км/ч. Найдите скорость течения реки, если через 3 ч после выхода лодки расстояние между лодкой и катером составляло 75 км.

Пусть $x$ км/ч — это искомая скорость течения реки.

Лодка движется вниз по течению, поэтому ее скорость относительно берега равна сумме ее собственной скорости и скорости течения реки: $v_{лодки} = (12 + x)$ км/ч.

Катер движется вверх по течению, поэтому его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения реки: $v_{катера} = (18 - x)$ км/ч.

Согласно условию задачи, расстояние между лодкой и катером измеряется через 3 часа после выхода лодки. Следовательно, время движения лодки составляет $t_{лодки} = 3$ ч.

Катер отправился на 1 час позже лодки, поэтому к моменту измерения расстояния он находился в пути $t_{катера} = 3 - 1 = 2$ ч.

За 3 часа лодка прошла расстояние $S_{лодки} = v_{лодки} \cdot t_{лодки} = (12 + x) \cdot 3$ км.

За 2 часа катер прошел расстояние $S_{катера} = v_{катера} \cdot t_{катера} = (18 - x) \cdot 2$ км.

Поскольку лодка и катер отправились от одной и той же пристани А в противоположных направлениях (один вниз по течению, другой вверх), расстояние между ними через заданное время будет равно сумме расстояний, которые прошел каждый из них. По условию это расстояние равно 75 км. Составим и решим уравнение:

$S_{лодки} + S_{катера} = 75$

$3 \cdot (12 + x) + 2 \cdot (18 - x) = 75$

Раскроем скобки:

$36 + 3x + 36 - 2x = 75$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x - 2x) + (36 + 36) = 75$

$x + 72 = 75$

Найдем $x$:

$x = 75 - 72$

$x = 3$

Таким образом, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

84 Трое изобретателей получили за своё изобретение премию в размере 141 000 р., причём второй получил $33\frac{1}{3}\%$ того, что получил первый, и ещё 6000 р., а третий получил $33\frac{1}{3}\%$ того, что получил второй, и ещё 3000 р. Какую премию получил каждый?

Для решения задачи обозначим сумму премии, полученную каждым из трех изобретателей, соответствующими переменными:

• $x$ — премия, полученная первым изобретателем (в рублях).
• $y$ — премия, полученная вторым изобретателем (в рублях).
• $z$ — премия, полученная третьим изобретателем (в рублях).

Общая сумма премии составляет 141 000 рублей. Это можно выразить уравнением:

$x + y + z = 141000$

Для удобства расчетов переведем проценты в обыкновенную дробь. Процент $33\frac{1}{3}\%$ равен одной трети:

$33\frac{1}{3}\% = \frac{100}{3}\% = \frac{100}{3 \cdot 100} = \frac{1}{3}$

Теперь составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Второй изобретатель получил $\frac{1}{3}$ от премии первого и ещё 6000 р.: $y = \frac{1}{3}x + 6000$
2. Третий изобретатель получил $\frac{1}{3}$ от премии второго и ещё 3000 р.: $z = \frac{1}{3}y + 3000$
3. Сумма всех премий: $x + y + z = 141000$

Решим эту систему методом подстановки. Сначала подставим выражение для $z$ из второго уравнения в третье:

$x + y + (\frac{1}{3}y + 3000) = 141000$

Упростим полученное уравнение, объединив слагаемые с $y$ и перенеся свободный член в правую часть:

$x + \frac{4}{3}y = 141000 - 3000$

$x + \frac{4}{3}y = 138000$

Теперь в это новое уравнение подставим выражение для $y$ из первого уравнения системы:

$x + \frac{4}{3}(\frac{1}{3}x + 6000) = 138000$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$x + \frac{4}{9}x + \frac{4}{3} \cdot 6000 = 138000$

$x + \frac{4}{9}x + 8000 = 138000$

$\frac{9}{9}x + \frac{4}{9}x = 138000 - 8000$

$\frac{13}{9}x = 130000$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{9}{13}$:

$x = 130000 \cdot \frac{9}{13}$

$x = 10000 \cdot 9 = 90000$

Таким образом, премия первого изобретателя составляет 90 000 рублей.

Зная премию первого, найдём премию второго изобретателя ($y$):

$y = \frac{1}{3}x + 6000 = \frac{1}{3} \cdot 90000 + 6000 = 30000 + 6000 = 36000$

Следовательно, премия второго изобретателя составляет 36 000 рублей.

Теперь вычислим премию третьего изобретателя ($z$):

$z = \frac{1}{3}y + 3000 = \frac{1}{3} \cdot 36000 + 3000 = 12000 + 3000 = 15000$

Итак, премия третьего изобретателя составляет 15 000 рублей.

Проведем проверку, сложив все три премии:

$90000 + 36000 + 15000 = 126000 + 15000 = 141000$

Общая сумма совпадает с указанной в условии, значит, задача решена верно.

Ответ: первый изобретатель получил 90 000 р., второй — 36 000 р., а третий — 15 000 р.

85 Решите систему уравнений методом подстановки:

а) $ \begin{cases} x = 2y - 3, \\ 3x + 4y = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 8x - y = 5, \\ -9x + 2y = 4; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 2x - 5y = 21, \\ y = 3x + 1; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x - 5y = 4, \\ 3x - 8y = -2. \end{cases} $

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x = 2y - 3, \\ 3x + 4y = 1 \end{cases} $

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим выражение $2y - 3$ вместо $x$ во второе уравнение системы:

$3(2y - 3) + 4y = 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$6y - 9 + 4y = 1$

$10y - 9 = 1$

$10y = 1 + 9$

$10y = 10$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y = 1$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x = 2(1) - 3$

$x = 2 - 3$

$x = -1$

Проверка: $3(-1) + 4(1) = -3 + 4 = 1$. Верно.

Ответ: $(-1; 1)$.

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 8x - y = 5, \\ -9x + 2y = 4 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$8x - 5 = y$ или $y = 8x - 5$

Подставим это выражение вместо $y$ во второе уравнение системы:

$-9x + 2(8x - 5) = 4$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$-9x + 16x - 10 = 4$

$7x - 10 = 4$

$7x = 4 + 10$

$7x = 14$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x = 2$ в выражение для $y$:

$y = 8(2) - 5$

$y = 16 - 5$

$y = 11$

Проверка: $-9(2) + 2(11) = -18 + 22 = 4$. Верно.

Ответ: $(2; 11)$.

в) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 5y = 21, \\ y = 3x + 1 \end{cases} $

Во втором уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим выражение $3x + 1$ вместо $y$ в первое уравнение системы:

$2x - 5(3x + 1) = 21$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x - 15x - 5 = 21$

$-13x - 5 = 21$

$-13x = 21 + 5$

$-13x = 26$

$x = -2$

Теперь подставим найденное значение $x = -2$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 3(-2) + 1$

$y = -6 + 1$

$y = -5$

Проверка: $2(-2) - 5(-5) = -4 + 25 = 21$. Верно.

Ответ: $(-2; -5)$.

г) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 5y = 4, \\ 3x - 8y = -2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 4 + 5y$

Подставим это выражение вместо $x$ во второе уравнение системы:

$3(4 + 5y) - 8y = -2$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$12 + 15y - 8y = -2$

$12 + 7y = -2$

$7y = -2 - 12$

$7y = -14$

$y = -2$

Теперь подставим найденное значение $y = -2$ в выражение для $x$:

$x = 4 + 5(-2)$

$x = 4 - 10$

$x = -6$

Проверка: $3(-6) - 8(-2) = -18 + 16 = -2$. Верно.

Ответ: $(-6; -2)$.

86 Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

a) $ \begin{cases} 5x - y = 4, \\ -2x + y = 5; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x + 4y = -7, \\ x - 9y = 6; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x + 5y = 10, \\ 3x - 7y = 4; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3x - 4y = -5, \\ 6x + 4y = -1. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x - y = 4 \\ -2x + y = 5 \end{cases} $.

Метод алгебраического сложения заключается в том, чтобы сложить или вычесть уравнения системы так, чтобы одна из переменных сократилась. В данном случае коэффициенты при переменной $y$ равны $-1$ и $1$, они являются противоположными числами. Поэтому мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить $y$.

Сложим левые и правые части уравнений:

$(5x - y) + (-2x + y) = 4 + 5$

$5x - 2x - y + y = 9$

$3x = 9$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{9}{3}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x=3$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:

$5(3) - y = 4$

$15 - y = 4$

$-y = 4 - 15$

$-y = -11$

$y = 11$

Решение системы: $(3; 11)$.

Ответ: $(3; 11)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 5y = 10 \\ 3x - 7y = 4 \end{cases} $.

В этой системе коэффициенты при переменной $x$ одинаковы. Чтобы исключить $x$, вычтем второе уравнение из первого.

$(3x + 5y) - (3x - 7y) = 10 - 4$

$3x + 5y - 3x + 7y = 6$

$12y = 6$

Найдем $y$:

$y = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим значение $y = \frac{1}{2}$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$3x + 5(\frac{1}{2}) = 10$

$3x + \frac{5}{2} = 10$

$3x = 10 - \frac{5}{2}$

$3x = \frac{20}{2} - \frac{5}{2}$

$3x = \frac{15}{2}$

$x = \frac{15}{2} \div 3 = \frac{15}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Решение системы: $(\frac{5}{2}; \frac{1}{2})$.

Ответ: $(\frac{5}{2}; \frac{1}{2})$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 4y = -7 \\ x - 9y = 6 \end{cases} $.

Коэффициенты при $x$ равны, поэтому, чтобы исключить $x$, вычтем второе уравнение из первого.

$(x + 4y) - (x - 9y) = -7 - 6$

$x + 4y - x + 9y = -13$

$13y = -13$

Найдем $y$:

$y = \frac{-13}{13} = -1$

Подставим $y = -1$ в первое уравнение:

$x + 4(-1) = -7$

$x - 4 = -7$

$x = -7 + 4$

$x = -3$

Решение системы: $(-3; -1)$.

Ответ: $(-3; -1)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 4y = -5 \\ 6x + 4y = -1 \end{cases} $.

Коэффициенты при переменной $y$ ($-4$ и $4$) являются противоположными числами. Сложим уравнения, чтобы исключить $y$.

$(3x - 4y) + (6x + 4y) = -5 + (-1)$

$3x + 6x - 4y + 4y = -6$

$9x = -6$

Найдем $x$:

$x = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$

Подставим $x = -\frac{2}{3}$ во второе уравнение:

$6(-\frac{2}{3}) + 4y = -1$

$-4 + 4y = -1$

$4y = -1 + 4$

$4y = 3$

$y = \frac{3}{4}$

Решение системы: $(-\frac{2}{3}; \frac{3}{4})$.

Ответ: $(-\frac{2}{3}; \frac{3}{4})$.