Страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

103 Разность двух чисел равна 52. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 3 и в остатке 4. Найдите эти числа.

Для решения этой задачи введем две переменные. Пусть первое число будет $x$, а второе — $y$.

Согласно первому условию, разность двух чисел равна 52. Это можно записать в виде уравнения:
$x - y = 52$

Второе условие гласит, что при делении первого числа на второе в частном получается 3, а в остатке 4. Это можно выразить с помощью формулы деления с остатком:
$x = 3 \cdot y + 4$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} x - y = 52 \\ x = 3y + 4 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$(3y + 4) - y = 52$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $y$:
$2y + 4 = 52$
$2y = 52 - 4$
$2y = 48$
$y = \frac{48}{2}$
$y = 24$

Итак, второе число равно 24. Теперь найдем первое число $x$, подставив значение $y$ во второе уравнение:
$x = 3 \cdot 24 + 4$
$x = 72 + 4$
$x = 76$

Следовательно, искомые числа — это 76 и 24.

Выполним проверку:
1. Разность чисел: $76 - 24 = 52$. Условие выполняется.
2. Деление с остатком: $76 \div 24 = 3$ (остаток $4$), так как $24 \cdot 3 + 4 = 72 + 4 = 76$. Условие выполняется.

Ответ: первое число — 76, второе число — 24.

104 Сумма цифр заданного двузначного числа равна 7. Если к каждой цифре прибавить по 2, то получится число, меньшее удвоенного заданного числа на 3. Какое число задано?

Пусть заданное двузначное число можно представить в виде $10x + y$, где $x$ - это цифра десятков, а $y$ - цифра единиц. Согласно условиям задачи, $x \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $y \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Из первого условия, что сумма цифр равна 7, получаем первое уравнение:
$x + y = 7$

Далее, если к каждой цифре прибавить по 2, то новая цифра десятков станет $x+2$, а новая цифра единиц - $y+2$. Новое число будет равно $10(x+2) + (y+2)$.
Это новое число, по условию, на 3 меньше удвоенного заданного числа. Удвоенное заданное число равно $2(10x + y)$.
Составим второе уравнение:
$10(x+2) + (y+2) = 2(10x + y) - 3$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = 7 \\ 10(x+2) + (y+2) = 2(10x + y) - 3 \end{cases}$

Упростим второе уравнение системы:
$10x + 20 + y + 2 = 20x + 2y - 3$
$10x + y + 22 = 20x + 2y - 3$
Соберем переменные в правой части, а константы — в левой:
$22 + 3 = 20x - 10x + 2y - y$
$25 = 10x + y$

Теперь наша система уравнений выглядит проще:
$\begin{cases} x + y = 7 \\ 10x + y = 25 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно вычесть первое уравнение из второго:
$(10x + y) - (x + y) = 25 - 7$
$10x + y - x - y = 18$
$9x = 18$
$x = \frac{18}{9}$
$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=2$ в первое уравнение:
$2 + y = 7$
$y = 7 - 2$
$y = 5$

Таким образом, цифра десятков искомого числа равна 2, а цифра единиц — 5. Искомое число — 25.

Проверка:
1. Сумма цифр числа 25: $2 + 5 = 7$. (Верно)
2. Прибавляем к каждой цифре 2: новые цифры 4 и 7, новое число 47.
3. Удвоенное исходное число: $2 \cdot 25 = 50$.
4. Удвоенное число минус 3: $50 - 3 = 47$.
Полученное число (47) совпадает с результатом вычислений (47). Все условия задачи выполнены.

Ответ: 25.

105 Когда каждую из сторон прямоугольника увеличили на $2 \text{ см}$, оказалось, что площадь прямоугольника увеличилась на $16 \text{ см}^2$. Найдите стороны заданного прямоугольника, если известно, что они выражаются целыми числами (в сантиметрах).

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ см и $b$ см. Согласно условию, $a$ и $b$ — целые положительные числа. Площадь исходного прямоугольника $S_1$ вычисляется по формуле:

$S_1 = a \cdot b$

Каждую сторону прямоугольника увеличили на 2 см. Новые стороны стали равны $(a + 2)$ см и $(b + 2)$ см. Площадь нового прямоугольника $S_2$ равна:

$S_2 = (a + 2)(b + 2)$

По условию задачи, площадь увеличилась на 16 см², то есть разница между новой и старой площадью составляет 16 см²:

$S_2 - S_1 = 16$

Подставим в это уравнение выражения для $S_1$ и $S_2$:

$(a + 2)(b + 2) - a \cdot b = 16$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$a \cdot b + 2a + 2b + 4 - a \cdot b = 16$

$2a + 2b + 4 = 16$

Перенесем 4 в правую часть уравнения:

$2a + 2b = 16 - 4$

$2a + 2b = 12$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a + b = 6$

Теперь нам нужно найти все пары целых положительных чисел ($a > 0$, $b > 0$), сумма которых равна 6. Поскольку порядок сторон в прямоугольнике не важен (прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ — это тот же прямоугольник, что и со сторонами $b$ и $a$), рассмотрим следующие варианты:

• Если $a = 1$ см, то $b = 6 - 1 = 5$ см.
• Если $a = 2$ см, то $b = 6 - 2 = 4$ см.
• Если $a = 3$ см, то $b = 6 - 3 = 3$ см. (в этом случае прямоугольник является квадратом).

Проверим найденные пары:

1. Стороны 1 см и 5 см: $S_1 = 1 \cdot 5 = 5$ см². Новые стороны: $1+2=3$ см и $5+2=7$ см. $S_2 = 3 \cdot 7 = 21$ см². Увеличение площади: $21 - 5 = 16$ см². Верно.
2. Стороны 2 см и 4 см: $S_1 = 2 \cdot 4 = 8$ см². Новые стороны: $2+2=4$ см и $4+2=6$ см. $S_2 = 4 \cdot 6 = 24$ см². Увеличение площади: $24 - 8 = 16$ см². Верно.
3. Стороны 3 см и 3 см: $S_1 = 3 \cdot 3 = 9$ см². Новые стороны: $3+2=5$ см и $3+2=5$ см. $S_2 = 5 \cdot 5 = 25$ см². Увеличение площади: $25 - 9 = 16$ см². Верно.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют три пары сторон.

Ответ: Стороны заданного прямоугольника могут быть 1 см и 5 см, или 2 см и 4 см, или 3 см и 3 см.

106 Скорый поезд проходит за 5 ч на 40 км больше, чем пассажирский за 6 ч. Найдите их скорости, $v_1$ км/ч и $v_2$ км/ч соответственно, если известно, что числа $v_1$ и $v_2$ делятся на 10 и оба меньше 100, но больше 50.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость скорого поезда, а $v_2$ км/ч — скорость пассажирского поезда.

Расстояние, которое скорый поезд проходит за 5 часов, составляет $S_1 = 5v_1$ км. Расстояние, которое пассажирский поезд проходит за 6 часов, составляет $S_2 = 6v_2$ км.

По условию задачи, скорый поезд проходит на 40 км больше, чем пассажирский. Это можно записать в виде уравнения:
$S_1 = S_2 + 40$
$5v_1 = 6v_2 + 40$

Также известно, что скорости $v_1$ и $v_2$ удовлетворяют следующим условиям:
1. Они делятся на 10.
2. Они больше 50, но меньше 100, то есть $50 < v_1 < 100$ и $50 < v_2 < 100$.

Исходя из этих условий, возможными значениями для каждой скорости являются числа из множества {60, 70, 80, 90}.

Для решения задачи проверим все возможные значения для $v_2$ методом подстановки в уравнение, чтобы найти соответствующее значение $v_1$ и проверить его на соответствие условиям.

1. Если $v_2 = 60$ км/ч:
$5v_1 = 6 \cdot 60 + 40$
$5v_1 = 360 + 40$
$5v_1 = 400$
$v_1 = \frac{400}{5} = 80$ км/ч.
Скорость $v_1 = 80$ км/ч удовлетворяет условиям: она делится на 10 и находится в промежутке (50; 100). Значит, эта пара скоростей ($v_1=80$, $v_2=60$) является решением.

2. Если $v_2 = 70$ км/ч:
$5v_1 = 6 \cdot 70 + 40$
$5v_1 = 420 + 40$
$5v_1 = 460$
$v_1 = \frac{460}{5} = 92$ км/ч.
Скорость $v_1 = 92$ км/ч не делится на 10, поэтому эта пара не подходит.

3. Если $v_2 = 80$ км/ч:
$5v_1 = 6 \cdot 80 + 40$
$5v_1 = 480 + 40$
$5v_1 = 520$
$v_1 = \frac{520}{5} = 104$ км/ч.
Скорость $v_1 = 104$ км/ч не удовлетворяет условию $v_1 < 100$, поэтому эта пара не подходит.

4. Если $v_2 = 90$ км/ч:
$5v_1 = 6 \cdot 90 + 40$
$5v_1 = 540 + 40$
$5v_1 = 580$
$v_1 = \frac{580}{5} = 116$ км/ч.
Скорость $v_1 = 116$ км/ч не удовлетворяет условию $v_1 < 100$, поэтому эта пара не подходит.

Единственная пара скоростей, которая удовлетворяет всем условиям задачи, — это $v_1 = 80$ км/ч и $v_2 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость скорого поезда $v_1$ равна 80 км/ч, а скорость пассажирского поезда $v_2$ равна 60 км/ч.

Вычислите:

107 а) $3^4 + 2^8$;

б) $(-1)^{10} - 5^2$;

в) $3^3 - 17^0$;

г) $10^3 - 2^{10}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $3^4 + 2^8$, необходимо сначала возвести каждое число в соответствующую степень, а затем сложить полученные результаты.
1. Возводим число 3 в 4-ю степень: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
2. Возводим число 2 в 8-ю степень: $2^8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 256$.
3. Складываем полученные значения: $81 + 256 = 337$.
Ответ: 337.

б) Чтобы вычислить значение выражения $(-1)^{10} - 5^2$, необходимо возвести каждое число в степень и выполнить вычитание.
1. Возводим число -1 в 10-ю степень. Так как степень четная (10), отрицательное основание станет положительным: $(-1)^{10} = 1$.
2. Возводим число 5 во 2-ю степень: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
3. Выполняем вычитание: $1 - 25 = -24$.
Ответ: -24.

в) Чтобы вычислить значение выражения $3^3 - 17^0$, нужно выполнить возведение в степень для каждого члена, а затем вычитание.
1. Возводим число 3 в 3-ю степень: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
2. Возводим число 17 в 0-ю степень. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: $17^0 = 1$.
3. Выполняем вычитание: $27 - 1 = 26$.
Ответ: 26.

г) Чтобы вычислить значение выражения $10^3 - 2^{10}$, выполним возведение в степень и затем вычитание.
1. Возводим число 10 в 3-ю степень: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
2. Возводим число 2 в 10-ю степень: $2^{10} = 1024$.
3. Выполняем вычитание: $1000 - 1024 = -24$.
Ответ: -24.

108 a) $(-2)^6 - 5.9^0 - 3^2 \cdot 3;$

б) $7.4^0 + (-2^2)^3 - 5^5 : 5^3;$

В) $7.8^0 + ((-2)^2)^3 - 5^3 : 5;$

Г) $3^{13} : (3^3)^3 - (-2^3)^2 + 4.7^0.$

a)

$(-2)^6 - 5,9^0 - 3^2 \cdot 3$

1. Возведем $-2$ в шестую степень. Так как показатель степени четный, результат будет положительным: $(-2)^6 = 2^6 = 64$.

2. Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице: $5,9^0 = 1$.

3. Вычислим произведение $3^2 \cdot 3$. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $3^2 \cdot 3^1 = 3^{2+1} = 3^3 = 27$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления: $64 - 1 - 27 = 63 - 27 = 36$.

Ответ: 36

б)

$7,4^0 + (-2^2)^3 - 5^5 : 5^3$

1. Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице: $7,4^0 = 1$.

2. Вычислим $(-2^2)^3$. Сначала выполняем действие в скобках. Степень относится только к числу 2, а не к знаку минус: $2^2 = 4$, следовательно $-2^2 = -4$. Затем возводим результат в куб: $(-4)^3 = -64$.

3. Вычислим частное $5^5 : 5^3$. Используя свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем $5^{5-3} = 5^2 = 25$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления: $1 + (-64) - 25 = 1 - 64 - 25 = -63 - 25 = -88$.

Ответ: -88

в)

$7,8^0 + ((-2)^2)^3 - 5^3 : 5$

1. Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице: $7,8^0 = 1$.

2. Вычислим $ ((-2)^2)^3$. Сначала выполняем действие во внутренних скобках: $(-2)^2 = 4$. Затем возводим результат в куб: $4^3 = 64$.

3. Вычислим частное $5^3 : 5$. Используя свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем $5^3 : 5^1 = 5^{3-1} = 5^2 = 25$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления: $1 + 64 - 25 = 65 - 25 = 40$.

Ответ: 40

г)

$3^{13} : (3^3)^3 - (-2^3)^2 + 4,7^0$

1. Вычислим $3^{13} : (3^3)^3$. Сначала упростим делитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$. Теперь выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$: $3^{13} : 3^9 = 3^{13-9} = 3^4 = 81$.

2. Вычислим $(-2^3)^2$. Сначала выполняем действие в скобках: $2^3=8$, следовательно $-2^3 = -8$. Затем возводим результат в квадрат: $(-8)^2 = 64$.

3. Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице: $4,7^0 = 1$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления: $81 - 64 + 1 = 17 + 1 = 18$.

Ответ: 18

109 a) $\frac{4^3 \cdot (2^5)^2}{8^5}$;

б) $\frac{6^4 \cdot 3^5}{9^4 \cdot 2^3}$;

в) $\frac{27^6}{9^2 \cdot (3^4)^3}$;

г) $\frac{10^3 \cdot (2^2)^5}{5^3 \cdot 8^2}$.

а) $\frac{4^3 \cdot (2^5)^2}{8^5}$

Для решения данного примера необходимо привести все основания степеней к одному числу, в данном случае это 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(2^2)^3 \cdot (2^5)^2}{(2^3)^5}$

Далее воспользуемся свойством степени «возведение степени в степень», согласно которому показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{5 \cdot 2}}{2^{3 \cdot 5}} = \frac{2^6 \cdot 2^{10}}{2^{15}}$

Теперь применим свойство «умножение степеней с одинаковым основанием», по которому показатели степеней складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$\frac{2^{6+10}}{2^{15}} = \frac{2^{16}}{2^{15}}$

Наконец, используем свойство «деление степеней с одинаковым основанием», по которому показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$2^{16-15} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

б) $\frac{6^4 \cdot 3^5}{9^4 \cdot 2^3}$

Для упрощения выражения разложим составные основания 6 и 9 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$ и $9 = 3^2$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(2 \cdot 3)^4 \cdot 3^5}{(3^2)^4 \cdot 2^3}$

Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^4 \cdot 3^4 \cdot 3^5}{3^{2 \cdot 4} \cdot 2^3} = \frac{2^4 \cdot 3^4 \cdot 3^5}{3^8 \cdot 2^3}$

В числителе сложим показатели степеней с основанием 3 ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$\frac{2^4 \cdot 3^{4+5}}{3^8 \cdot 2^3} = \frac{2^4 \cdot 3^9}{3^8 \cdot 2^3}$

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним деление, вычитая показатели ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{2^4}{2^3} \cdot \frac{3^9}{3^8} = 2^{4-3} \cdot 3^{9-8} = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

в) $\frac{27^6}{9^2 \cdot (3^4)^3}$

Приведем все основания к общему основанию 3. Известно, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(3^3)^6}{(3^2)^2 \cdot (3^4)^3}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для всех частей выражения:

$\frac{3^{3 \cdot 6}}{3^{2 \cdot 2} \cdot 3^{4 \cdot 3}} = \frac{3^{18}}{3^4 \cdot 3^{12}}$

В знаменателе перемножим степени, сложив их показатели ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$\frac{3^{18}}{3^{4+12}} = \frac{3^{18}}{3^{16}}$

При делении степеней вычтем их показатели ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$3^{18-16} = 3^2 = 9$

Ответ: 9

г) $\frac{10^3 \cdot (2^2)^5}{5^3 \cdot 8^2}$

Разложим основания 10 и 8 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$ и $8 = 2^3$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(2 \cdot 5)^3 \cdot (2^2)^5}{5^3 \cdot (2^3)^2}$

Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{2 \cdot 5}}{5^3 \cdot 2^{3 \cdot 2}} = \frac{2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{10}}{5^3 \cdot 2^6}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правила умножения и деления степеней:

$\frac{2^3 \cdot 2^{10}}{2^6} \cdot \frac{5^3}{5^3} = \frac{2^{3+10}}{2^6} \cdot 5^{3-3} = \frac{2^{13}}{2^6} \cdot 5^0$

Любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$). При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$2^{13-6} \cdot 1 = 2^7$

Осталось вычислить значение:

$2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$

Ответ: 128

110 a) $ \frac{13^6 \cdot 2^6}{26^5} $;

б) $ \frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{(63^5)^2} $;

В) $ \frac{2^8 \cdot 3^8}{(6^4)^2} $;

Г) $ \frac{12^6}{3^5 \cdot 4^5} $.

а)

Дано выражение: $\frac{13^6 \cdot 2^6}{26^5}$.

Сначала воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Применим его к числителю:

$13^6 \cdot 2^6 = (13 \cdot 2)^6 = 26^6$.

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$\frac{26^6}{26^5}$.

Далее используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{26^6}{26^5} = 26^{6-5} = 26^1 = 26$.

Ответ: 26

б)

Дано выражение: $\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{(63^5)^2}$.

Упростим числитель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$7^{11} \cdot 9^{11} = (7 \cdot 9)^{11} = 63^{11}$.

Теперь упростим знаменатель, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(63^5)^2 = 63^{5 \cdot 2} = 63^{10}$.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{63^{11}}{63^{10}}$.

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{63^{11}}{63^{10}} = 63^{11-10} = 63^1 = 63$.

Ответ: 63

в)

Дано выражение: $\frac{2^8 \cdot 3^8}{(6^4)^2}$.

Преобразуем числитель по свойству $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$2^8 \cdot 3^8 = (2 \cdot 3)^8 = 6^8$.

Преобразуем знаменатель по свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(6^4)^2 = 6^{4 \cdot 2} = 6^8$.

Получаем выражение:

$\frac{6^8}{6^8}$.

Любое число (кроме нуля), деленное само на себя, равно 1. Также можно применить свойство степеней:

$\frac{6^8}{6^8} = 6^{8-8} = 6^0 = 1$.

Ответ: 1

г)

Дано выражение: $\frac{12^6}{3^5 \cdot 4^5}$.

Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$3^5 \cdot 4^5 = (3 \cdot 4)^5 = 12^5$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\frac{12^6}{12^5}$.

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{12^6}{12^5} = 12^{6-5} = 12^1 = 12$.

Ответ: 12

111 a) $\frac{25^3 \cdot 14^2}{49 \cdot 10^6}$

б) $\frac{12^2 \cdot 35^3}{28^2 \cdot 15^4}$

в) $\frac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3}$

г) $\frac{22^4 \cdot 3^3}{6^2 \cdot 121^2}$

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{25^3 \cdot 14^2}{49 \cdot 10^6}$, разложим каждое число в основании степени на простые множители:

$25 = 5^2$

$14 = 2 \cdot 7$

$49 = 7^2$

$10 = 2 \cdot 5$

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$\frac{(5^2)^3 \cdot (2 \cdot 7)^2}{7^2 \cdot (2 \cdot 5)^6}$

Теперь применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:

$\frac{5^{2 \cdot 3} \cdot 2^2 \cdot 7^2}{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6} = \frac{5^6 \cdot 2^2 \cdot 7^2}{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6}$

Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{6-6} \cdot 2^{2-6} \cdot 7^{2-2} = 5^0 \cdot 2^{-4} \cdot 7^0$

Так как любое число в нулевой степени равно 1, а $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$1 \cdot \frac{1}{2^4} \cdot 1 = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

б)

Упростим выражение $\frac{12^2 \cdot 35^3}{28^2 \cdot 15^4}$. Разложим числа на простые множители:

$12 = 2^2 \cdot 3$

$35 = 5 \cdot 7$

$28 = 2^2 \cdot 7$

$15 = 3 \cdot 5$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2^2 \cdot 3)^2 \cdot (5 \cdot 7)^3}{(2^2 \cdot 7)^2 \cdot (3 \cdot 5)^4}$

Применим свойства степеней:

$\frac{(2^2)^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{(2^2)^2 \cdot 7^2 \cdot 3^4 \cdot 5^4} = \frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{2^4 \cdot 7^2 \cdot 3^4 \cdot 5^4}$

Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^4}{2^4} \cdot \frac{3^2}{3^4} \cdot \frac{5^3}{5^4} \cdot \frac{7^3}{7^2} = 2^{4-4} \cdot 3^{2-4} \cdot 5^{3-4} \cdot 7^{3-2} = 2^0 \cdot 3^{-2} \cdot 5^{-1} \cdot 7^1$

Вычислим итоговое значение:

$1 \cdot \frac{1}{3^2} \cdot \frac{1}{5} \cdot 7 = \frac{7}{9 \cdot 5} = \frac{7}{45}$

Ответ: $\frac{7}{45}$

в)

Упростим выражение $\frac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3}$. Разложим числа на простые множители:

$36 = 2^2 \cdot 3^2$

$15 = 3 \cdot 5$

$18 = 2 \cdot 3^2$

$10 = 2 \cdot 5$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2^2 \cdot 3^2)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(2 \cdot 3^2)^4 \cdot (2 \cdot 5)^3}$

Применим свойства степеней:

$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^{2 \cdot 3} \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^{2 \cdot 4} \cdot 2^3 \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 2^3 \cdot 5^3}$

Соберем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^6 \cdot 3^{6+2} \cdot 5^2}{2^{4+3} \cdot 3^8 \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^8 \cdot 5^2}{2^7 \cdot 3^8 \cdot 5^3}$

Сократим дроби:

$2^{6-7} \cdot 3^{8-8} \cdot 5^{2-3} = 2^{-1} \cdot 3^0 \cdot 5^{-1}$

Вычислим результат:

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

г)

Упростим выражение $\frac{22^4 \cdot 3^3}{6^2 \cdot 121^2}$. Разложим числа на простые множители:

$22 = 2 \cdot 11$

$6 = 2 \cdot 3$

$121 = 11^2$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2 \cdot 11)^4 \cdot 3^3}{(2 \cdot 3)^2 \cdot (11^2)^2}$

Применим свойства степеней:

$\frac{2^4 \cdot 11^4 \cdot 3^3}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^{2 \cdot 2}} = \frac{2^4 \cdot 11^4 \cdot 3^3}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^4}$

Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^4}{2^2} \cdot \frac{3^3}{3^2} \cdot \frac{11^4}{11^4} = 2^{4-2} \cdot 3^{3-2} \cdot 11^{4-4} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 11^0$

Вычислим результат:

$4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$

Ответ: $12$

112 a) $\frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{9^9}$;

б) $\frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}$;

в) $\frac{108 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6}{216^3 - 36^4}$;

г) $\frac{(3^{15} + 3^{13}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}$.

a) $\frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{9^9}$

Для решения данного выражения, сначала упростим числитель и знаменатель.

1. Упрощение числителя: $2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}$.

Вынесем общий множитель $3^{19}$ за скобки. Для этого представим $3^{20}$ как $3 \cdot 3^{19}$.

$2 \cdot (3 \cdot 3^{19}) - 5 \cdot 3^{19} = 3^{19} \cdot (2 \cdot 3 - 5) = 3^{19} \cdot (6 - 5) = 3^{19} \cdot 1 = 3^{19}$.

2. Упрощение знаменателя: $9^9$.

Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

$9^9 = (3^2)^9$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $3^{2 \cdot 9} = 3^{18}$.

3. Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{3^{19}}{3^{18}}$. По свойству частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем $3^{19-18} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

б) $\frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}$

Упростим выражение по частям.

1. Упростим выражение в скобках в числителе: $3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}$.

Вынесем общий множитель $2^{19}$ за скобки. Представим $2^{20}$ как $2 \cdot 2^{19}$.

$3 \cdot (2 \cdot 2^{19}) + 7 \cdot 2^{19} = 2^{19} \cdot (3 \cdot 2 + 7) = 2^{19} \cdot (6 + 7) = 2^{19} \cdot 13$.

Теперь весь числитель выглядит так: $(2^{19} \cdot 13) \cdot 52$. Разложим 52 на множители: $52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$.

Числитель: $2^{19} \cdot 13 \cdot 2^2 \cdot 13 = 13^2 \cdot 2^{19+2} = 13^2 \cdot 2^{21}$.

2. Упростим знаменатель: $(13 \cdot 8^4)^2$.

Представим 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$. Тогда $8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$.

Выражение в скобках: $13 \cdot 2^{12}$.

Возведем в квадрат: $(13 \cdot 2^{12})^2 = 13^2 \cdot (2^{12})^2 = 13^2 \cdot 2^{24}$.

3. Разделим упрощенный числитель на знаменатель:

$\frac{13^2 \cdot 2^{21}}{13^2 \cdot 2^{24}} = \frac{2^{21}}{2^{24}} = 2^{21-24} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

в) $\frac{108 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6}{216^3 - 36^4}$

1. Упростим числитель. Вынесем общий множитель $108 \cdot 6^6$ за скобки:

$108 \cdot 6^6 \cdot (6^1 - 1) = 108 \cdot 6^6 \cdot 5$.

2. Упростим знаменатель. Представим 216 и 36 как степени числа 6:

$216 = 6^3$ и $36 = 6^2$.

Знаменатель: $(6^3)^3 - (6^2)^4 = 6^9 - 6^8$.

Вынесем общий множитель $6^8$ за скобки: $6^8 \cdot (6^1 - 1) = 6^8 \cdot 5$.

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{108 \cdot 6^6 \cdot 5}{6^8 \cdot 5}$. Сократим на 5:

$\frac{108 \cdot 6^6}{6^8} = \frac{108}{6^{8-6}} = \frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3$.

Ответ: 3

г) $\frac{(3^{15} + 3^{13}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}$

1. Упростим выражение в скобках в числителе: $3^{15} + 3^{13}$.

Вынесем общий множитель $3^{13}$ за скобки: $3^{13} \cdot (3^2 + 1) = 3^{13} \cdot (9 + 1) = 3^{13} \cdot 10$.

Весь числитель: $3^{13} \cdot 10 \cdot 2^9$.

2. Упростим выражение в скобках в знаменателе: $3^{14} + 3^{12}$.

Вынесем общий множитель $3^{12}$ за скобки: $3^{12} \cdot (3^2 + 1) = 3^{12} \cdot (9 + 1) = 3^{12} \cdot 10$.

Представим 1024 как степень числа 2: $1024 = 2^{10}$.

Весь знаменатель: $3^{12} \cdot 10 \cdot 2^{10}$.

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{3^{13} \cdot 10 \cdot 2^9}{3^{12} \cdot 10 \cdot 2^{10}}$. Сократим на 10:

$\frac{3^{13} \cdot 2^9}{3^{12} \cdot 2^{10}} = \frac{3^{13}}{3^{12}} \cdot \frac{2^9}{2^{10}} = 3^{13-12} \cdot 2^{9-10} = 3^1 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

113. Представьте в виде степени с натуральным показателем:

а) 625;

б) 196;

в) 81;

г) 64.

а) 625

Чтобы представить число 625 в виде степени с натуральным показателем, нужно найти основание и показатель степени. Разложим число 625 на простые множители. Поскольку число оканчивается на 5, оно делится на 5:

$625 = 5 \cdot 125 = 5 \cdot 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.

Также можно заметить, что $625 = 25 \cdot 25$, следовательно, $625 = 25^2$.

Оба представления являются верными.

Ответ: $5^4$ или $25^2$.

б) 196

Представим число 196 в виде степени. Можно подобрать основание или разложить число на простые множители.

Подбором находим, что $14 \cdot 14 = 196$. Таким образом, $196 = 14^2$.

Разложение на простые множители также приводит к этому результату: $196 = 2 \cdot 98 = 2 \cdot 2 \cdot 49 = 2^2 \cdot 7^2 = (2 \cdot 7)^2 = 14^2$.

Ответ: $14^2$.

в) 81

Число 81 можно представить в виде степени несколькими способами.

1. С основанием 9: из таблицы умножения известно, что $81 = 9 \cdot 9 = 9^2$.

2. С основанием 3: разложив на простые множители, получаем $81 = 3 \cdot 27 = 3 \cdot 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$.

Оба варианта являются правильными.

Ответ: $9^2$ или $3^4$.

г) 64

Число 64 имеет несколько представлений в виде степени с натуральным показателем.

1. Как квадрат числа: $64 = 8 \cdot 8 = 8^2$.

2. Как куб числа: $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$.

3. Как степень числа 2 (разложение на простые множители): $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Все три представления являются верными.

Ответ: $8^2$, $4^3$ или $2^6$.